Research of hierarchy structures of spatial graphs and algebraic invariants

１．井上歩氏，木村直記氏，谷山公規氏との共同研究により，絡み目内在性・結び目内在性を持つグラフとして知られる Petersen グラフ，Heawood グラフについて，その平面へのはめ込みの像が含む平面閉曲線の交差数及び回転数に関する新たな内在性を見出した．また応用として，Petersen グラフと Heawood グラフは，標準的な接触構造を持つ3次元 Euclid 空間への極小 Legendrian 埋め込みと呼ばれる，グラフの内周を実現する全ての結び目がトリビアル・アンノットと呼ばれる Legendrian 結び目となっているような埋め込みを決して持たないことを示した．２．nを6以上の整数とし，p，qを p+q=n なる3以上の整数とするとき，n頂点完全グラフの空間グラフにおいて，pサイクルとqサイクルが成す2成分絡み目の2乗絡み数の総和は，2つの3サイクルが成す絡み目の2乗絡み数の総和で明示的に表される(森下-新國)．これは6頂点完全グラフのいわゆる Conway-Gordon の定理の精密化及び一般頂点数の完全グラフへの拡張で，トリッキーな帰納法による長い証明を要していたが，その証明をより初等的かつ直接的な方法で大幅に簡略化した．３．空間グラフの内在的性質の最近の研究についてまとめた著書「空間グラフのトポロジー」をサイエンス社から出版した．上記２の結果はこの本に掲載されている．

１．井上歩氏，木村直記氏，谷山公規氏との共同研究により，絡み目内在性・結び目内在性を持つグラフとして知られる Petersen グラフ，Heawood グラフについて，その平面へのはめ込みの像が含む平面閉曲線の交差数及び回転数に関する新たな内在性を見出した．また応用として，Petersen グラフと Heawood グラフは，標準的な接触構造を持つ3次元 Euclid 空間への極小 Legendrian 埋め込みと呼ばれる，グラフの内周を実現する全ての結び目がトリビアル・アンノットと呼ばれる Legendrian 結び目となっているような埋め込みを決して持たないことを示した．２．nを6以上の整数とし，p，qを p+q=n なる3以上の整数とするとき，n頂点完全グラフの空間グラフにおいて，pサイクルとqサイクルが成す2成分絡み目の2乗絡み数の総和は，2つの3サイクルが成す絡み目の2乗絡み数の総和で明示的に表される(森下-新國)．これは6頂点完全グラフのいわゆる Conway-Gordon の定理の精密化及び一般頂点数の完全グラフへの拡張で，トリッキーな帰納法による長い証明を要していたが，その証明をより初等的かつ直接的な方法で大幅に簡略化した．３．空間グラフの内在的性質の最近の研究についてまとめた著書「空間グラフのトポロジー」をサイエンス社から出版した．上記２の結果はこの本に掲載されている．