距離・平均と関連した代数構造

与距离/平均值相关的代数结构

• 批准号: 22K03332
• 负责人: 阿部 敏一
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Ibaraki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03332/
• 关键词: 平均; 行列; ジャイロ群; 半群; 距離; 中点

行列平均がジャイロ可換ジャイロ群の代数的中点として記述できるための条件について着目し一定の成果を得ることができた．本研究課題では特に，正定値行列全体のなす集合である正凸錐に注目して研究を行っている．行列の平均は正定値行列を二つ選ぶとその組に対して何らかの正定値行列を対応させるような二変数写像のうち，いくつかの公理を満たすものである．算術平均や幾何平均は典型的な例である．ジャイロ群は群の公理のうち結合法則を弱めることで定義される代数構造であり，相対論における速度やポアンカレ円板の幾何学に関連する．正凸錐上で幾何平均はあるジャイロ可換ジャイロ群の代数的中点と一致することが知られており，また一方で，算術平均や調和平均などいくつかの平均はそれぞれある半群の代数的中点として記述されることが分かっている．この結果を受け，他の様々な平均について，どのような平均であればジャイロ群（もしくは半群）の代数的中点として記述できるかを調べることが本研究課題の目的の一部である．行列の平均は行列単調関数を用いて表現することができることが知られている．当該年度は，この単調関数に注目し研究を行った．その結果，代数的中点として記述できる平均について，その代数構造の性質が，平均に対応する単調関数の性質として表れることが分かった．特に，平均がジャイロ群の代数的中点として記述できるための簡単な必要条件を単調関数の性質で与えることができた．また，その結果，いくつかの具体的な平均について，ジャイロ可換ジャイロ群の代数的中点として記述できないことが分かった．

我们能够通过重点关注矩阵平均值的条件来获得某些结果，该条件被描述为交换性陀螺仪的代数中点。该研究主题尤其集中于正凸音凸，这是整个正定矩阵的集合。矩阵的平均值满足两个双变量图中的某些公理，其中选择了两个正面定义的矩阵时，某些阳性定义的矩阵与该集合相关联。算术和几何平均值是典型的例子。陀螺群是通过削弱组公理之间的键定律来定义的代数结构，并且与相对性和庞加莱盘的几何形状的速度有关。众所周知，正凸音凸凸硬币上的几何平均值与某个陀螺仪的陀螺仪组的代数中点相匹配，而另一方面，某些平均值（例如算术和谐波平均值）被描述为某些半群的代数中点。基于这些结果，本研究主题的一部分目的是调查可以将哪些平均值描述为陀螺仪组（或半群）的代数中点。众所周知，矩阵的平均值可以使用矩阵单调函数表示。在这一年中，我们进行了关注这种单调功能的研究。结果，发现对于可以描述为代数中点的平均值，代数结构的特性表示为与平均值相对应的单调函数的属性。特别是，单调函数的特性提供了一个简单的要求，即平均被描述为陀螺仪组的代数中点。此外，我们发现某些特定平均值不能描述为陀螺仪陀螺仪的代数中点。

项目成果

代数的中点と平均

代数中点和平均值

• 发表时间: 2022
• 作者: 鍋島克輔;田島慎一;阿部 敏一
• 通讯作者: 阿部 敏一

代数的中点と作用素平均

代数中点和算子平均值

• 发表时间: 2022
• 作者: 鍋島克輔;田島慎一;阿部 敏一;阿部 敏一
• 通讯作者: 阿部 敏一