鏡像原理を使った固有正則写像の正則拡張問題の研究

報告者の先行研究で次の定理がある。「次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在すると仮定する。この時次元についてある条件を満たせば、そのような写像は、定義域と値域の自己同型群の差を省いて分類することができる。」この定理に現れる「境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在する」という仮定が必要かどうかを調べたい。つまり、そのような複素擬楕円体の間の任意の固有正則写像は、境界を越えて正則的に拡張出るか否かを調べたい。もし定義域と値域の次元が同じであれば、Diederich-FornaessやBelll-Catlinの定理により、そのような複素擬楕円体の間の固有正則写像は正則的に拡張できることが分かっている。それを次元を異なる場合に拡張することがこの研究の目標である。領域の次元が同じ場合の研究は、先行研究が多くあるのに対して、次元が異なる場合の正則拡張定理はまだ研究は多くない。それはいくつかの反例があるからだと思われる。該当年度においては、次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、連続的に定義域を拡張できるが、可微分には拡張できないものが構成できると予想され、それの構成を行っている。

報告者の先行研究で次の定理がある。「次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在すると仮定する。この時次元についてある条件を満たせば、そのような写像は、定義域と値域の自己同型群の差を省いて分類することができる。」この定理に現れる「境界を越えて正則的に定義域を拡張できるものが存在する」という仮定が必要かどうかを調べたい。つまり、そのような複素擬楕円体の間の任意の固有正則写像は、境界を越えて正則的に拡張出るか否かを調べたい。もし定義域と値域の次元が同じであれば、Diederich-FornaessやBelll-Catlinの定理により、そのような複素擬楕円体の間の固有正則写像は正則的に拡張できることが分かっている。それを次元を異なる場合に拡張することがこの研究の目標である。領域の次元が同じ場合の研究は、先行研究が多くあるのに対して、次元が異なる場合の正則拡張定理はまだ研究は多くない。それはいくつかの反例があるからだと思われる。該当年度においては、次元の異なる複素擬楕円体の間の固有正則写像で、連続的に定義域を拡張できるが、可微分には拡張できないものが構成できると予想され、それの構成を行っている。