固有正則写像に関するgap現象の幾何学的解明

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研究代表者の以前の論文で次の定理が示された。「次元の異なる複素擬楕円体の間に固有正則写像が存在し、それは境界を越えて正則的に定義域を拡張できると仮定する。次元及び複素擬楕円体の定義関数に現れるブロックの個数にある制限を付ける。このとき任意の固有正則写像は、定義域と値域の自己同型群の差を省いて分類することができる。」この定理は、球の間の固有正則写像に関するGap定理を複素擬楕円体に拡張したものであった。この定理で「固有正則写像を正則写像として、境界を越えて手擬息を拡張できる」という仮定を省くことができるか否かを調べることが目標であった。そのためには球の場合に、そのようなことができるかを調べ、その内容を詳細に検討する必要がある。それを行うことが本年度の計画であった。GlobevnikやForstnericの論文にその内容が出ているため、それを詳細に検討した。その結果、いくつかの内容について球の場合を複素擬楕円体に拡張できるのではないか、という予想を立てることができた。具体的には調和関数に関するディリクレ問題を使うことにより、連続写像として定義域を拡張できるが、微分可能な写像としては定義気を拡張できない例があるのではないか、という予想である。まず、ある条件を満たす写像からスタートする。それに対してある種のピーク関数を少しずつ写像の各成分に加えて、その極限を取ることにより可微分写像として拡張できない例を作るのである。