Asymptotic behavior of global in time solutions to the viscous conservation laws

我々の身近にある流体の運動には、衝撃波、希薄波のような非線形波が常に現れる。これらの非線形波が現実に見せる様相は実に多様であり、例えば航空機の空力設計、半導体設計、交通流やコロイド流の解析等の分野において、数学的にも物理・工学的にも重要な問題を提示してきた。流体の媒質に消散構造(2階の空間微分の粘性項や4階微分の消散項が付く)や分散構造(3階の空間微分の分散項が付く)を仮定する時、その流体の力学的挙動は消散分散保存則と呼ばれる非線形偏微分方程式で表され、主に水深が浅い波の振る舞いを記述する方程式としても知られる。その典型例として3階の方程式ではKorteweg-de Vries-Burges方程式、4階の方程式ではKorteweg-de Vries-Burgers-蔵本方程式が挙げられる。これらの方程式の解が定数状態や希薄波等へ時間と共に漸近することは既に知られている。然しながら4階の消散分散保存則で2階の空間微分の粘性項が無い場合(これを非粘性消散分散保存則と呼ぶ)には、漸近結果は全く知られてこなかった。その主たる理由は、粘性項が無いために、証明に欠かせないエネルギー不等式の構成が一層困難になる点にあった。以上を踏まえた上で本年度の主な研究実績について述べる。まず私はこの非粘性消散分散保存則の解が定数状態に漸近すること(Yoshida(2022))や希薄波に漸近すること(Yoshida(2023))をそれぞれ証明した。一方で、水深が浅い波の振る舞いを記述する方程式としては他にもBenjamin-Bona-Mahony-Burgers方程式等も知られる。ここでは更に移流項がより一般の場合であり分散項も付加された、分散項付き一般化Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程式の解が希薄波へ漸近すること(Yoshida(2022))も得た。

我々の身近にある流体の運動には、衝撃波、希薄波のような非線形波が常に現れる。これらの非線形波が現実に見せる様相は実に多様であり、例えば航空機の空力設計、半導体設計、交通流やコロイド流の解析等の分野において、数学的にも物理・工学的にも重要な問題を提示してきた。流体の媒質に消散構造(2階の空間微分の粘性項や4階微分の消散項が付く)や分散構造(3階の空間微分の分散項が付く)を仮定する時、その流体の力学的挙動は消散分散保存則と呼ばれる非線形偏微分方程式で表され、主に水深が浅い波の振る舞いを記述する方程式としても知られる。その典型例として3階の方程式ではKorteweg-de Vries-Burges方程式、4階の方程式ではKorteweg-de Vries-Burgers-蔵本方程式が挙げられる。これらの方程式の解が定数状態や希薄波等へ時間と共に漸近することは既に知られている。然しながら4階の消散分散保存則で2階の空間微分の粘性項が無い場合(これを非粘性消散分散保存則と呼ぶ)には、漸近結果は全く知られてこなかった。その主たる理由は、粘性項が無いために、証明に欠かせないエネルギー不等式の構成が一層困難になる点にあった。以上を踏まえた上で本年度の主な研究実績について述べる。まず私はこの非粘性消散分散保存則の解が定数状態に漸近すること(Yoshida(2022))や希薄波に漸近すること(Yoshida(2023))をそれぞれ証明した。一方で、水深が浅い波の振る舞いを記述する方程式としては他にもBenjamin-Bona-Mahony-Burgers方程式等も知られる。ここでは更に移流項がより一般の場合であり分散項も付加された、分散項付き一般化Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程式の解が希薄波へ漸近すること(Yoshida(2022))も得た。