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非局所非線形楕円型方程式に対する特異摂動解析

非局部非线性椭圆方程的奇异摄动分析

基本信息

批准号：
22K03380
负责人：
田中和永
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

特異摂動問題に対応する変形理論の整備を行った．特異摂動問題は非線形シュレディンガー方程式に代表される局所問題に対してポテンシャル V(ｘ) の極小点に凝集する解を中心に研究が行われてきた．Lyapunov-Schmidt 法が適用可能な非退化な特別な場合を除けば，ポテンシャルの極大点，鞍点に凝集する解の変分的研究は少なく，その手法も大変複雑であった (Byeon 氏と私の共同研究 Eur. Math. J 2013 等)．特に Berestycki-Lions に代表される一般的な条件下でも適用可能な deformation flow は標準的な deformation， R^N でのシフト，無限遠での最小化という３つの性格の異なる flow の iteration というものであった．ここではこの変形理論の見直しから始め，証明を大幅に簡略化し，iteration を経ずに deformation を構成した．ここでは空間でのシフトが標準的な変形理論には含まれない点に注意し，関数空間 H^1 と R^N の直積空間に拡張された汎関数に変形理論を展開している．先に Cingolani 氏と共に開発した tail minimizing のアイデアも取り入れている．さらに特筆すべき性質として，今回開発した deformation flow は deformation の課程で関数の形状(ピーク)をある程度保つという性質をもち，特異摂動解の存在証明に適するものである．局所問題のみならずここでの方法は非線形 Choquard 方程式等の非局所問題に対しても有効であり，この方法を用いることによりポテンシャル V(ｘ) の極大点，Moutain pass により特徴付けられた鞍点に凝集する特異摂動解の存在を Cingolani 氏と共に示した．

The special 摂 motion problem に compiles the 応する deformation theory を row った. Specific, dynamic problem は nonlinear シュレディンガにー equations represent される bureau issues にし seaborne てポテンシャル V (x) の minimum point に agglutination すをる solution center line に research がわれてきた. Lyapunov - Schmidt method may なが apply nondegenerate をなな special occasion in addition to けば, ポテンシャルの maximum point, saddle point に agglutination すのる solution - points less research はなく, その gimmick も large variations after 雑であった (Byeon's のと private study Eur. Math. J. 2013, etc.). Trevor に Berestycki - Lions に representative される under the condition of general なでも may apply な deformation flow は standard な deformation, R ^ N でのシフト, Infinity で <s:1> <s:1> minimization とうう 3 <s:1> <s:1> personality <e:1> difference なる flow <e:1> iteration とううであったであった. ここではこの - shape theory の see straight しからめ, prove を sharply に brief し, iteration を経ずに deformation を constitute した. ここでは space でのシフトが standard な - shape theory には containing まれない point attention にし, masato number space H ^ 1 と R ^ N の direct product space に company, zhang された number of generic masato に - shape theory を launched している. First に Cingolani's とに total open 発した tail minimizing のアイデアも take りれている. さらに special pen すべき nature として, today back to open 発した deformation flow は deformation の course で masato number の shape (ピーク) をある extent protect つという nature をもち, specific, dynamic existence proof のに optimum するものである. Bureau issues のみならずここでの way は nonlinear Choquard equation is の not bureau issues such as にし seaborne ても have sharper であり, この way を with いることによりポテンシャル V (x) の maximum points, Resident pass により徴 pay especially けられた saddle point に agglutination する specific, dynamic existence をの Cingolani's とに shows total した.