非局所反応拡散方程式の大域的解構造の解明と楕円関数の応用

金属の融解現象を記述するモデルとして、２変数反応拡散方程式であるPhase-Field方程式がFixやCaginalpにより提唱された。Neuman境界条件の下では、この方程式の定常問題は積分制約条件付きのスカラー方程式となり、解の存在とその安定性を研究している。 Kuto and Tsujikawa (2013)の結果を適応することにより、エンタルピーが零の場合を除いて定常解の分岐構造が得られる。定数解から分岐した枝が定数解に、または特異解に接続するなどを示した。しかしエンタルピーが零の場合、定数解からの１次分岐（対称解の出現）、および対称解からの２次分岐（非対称解の出現）現象が起こることを示すことができない。そこで完全楕円積分により、すべての解がパラメータ表示できることを用いて分岐解の枝がパラメーター空間の中のグラフとなることを示した。また、Suzuki and Tasaki (2009)の結果を補完して、定数解からの分岐の方向をすべて決定した。定常解の安定性に関して、エンタルピーが零の場合の定数解からの１次分岐である対称解について議論した。すなわち、定数解から分岐した直後の対称解は不安定であるが２次分岐点を境に安定となる。Suzuki and Tasaki (2009)の結果から、ある種の線形化固有値問題を扱えば十分であることがわかる。固有値はすべて実となるので、第一固有値のみが正から負になり、その他の固有値はすべて負となることを示した。対称定常解が完全楕円積分で表示できることから、具体的に固有関数の形状がわかることが証明の本質的である。安定性が変化する点と２次分岐が起こる点が一致していることも示した。同様に具体的な解表示により、２次分岐の方向の決定が可能であると考えている。

金属の融解現象を記述するモデルとして、２変数反応拡散方程式であるPhase-Field方程式がFixやCaginalpにより提唱された。Neuman境界条件の下では、この方程式の定常問題は積分制約条件付きのスカラー方程式となり、解の存在とその安定性を研究している。 Kuto and Tsujikawa (2013)の結果を適応することにより、エンタルピーが零の場合を除いて定常解の分岐構造が得られる。定数解から分岐した枝が定数解に、または特異解に接続するなどを示した。しかしエンタルピーが零の場合、定数解からの１次分岐（対称解の出現）、および対称解からの２次分岐（非対称解の出現）現象が起こることを示すことができない。そこで完全楕円積分により、すべての解がパラメータ表示できることを用いて分岐解の枝がパラメーター空間の中のグラフとなることを示した。また、Suzuki and Tasaki (2009)の結果を補完して、定数解からの分岐の方向をすべて決定した。定常解の安定性に関して、エンタルピーが零の場合の定数解からの１次分岐である対称解について議論した。すなわち、定数解から分岐した直後の対称解は不安定であるが２次分岐点を境に安定となる。Suzuki and Tasaki (2009)の結果から、ある種の線形化固有値問題を扱えば十分であることがわかる。固有値はすべて実となるので、第一固有値のみが正から負になり、その他の固有値はすべて負となることを示した。対称定常解が完全楕円積分で表示できることから、具体的に固有関数の形状がわかることが証明の本質的である。安定性が変化する点と２次分岐が起こる点が一致していることも示した。同様に具体的な解表示により、２次分岐の方向の決定が可能であると考えている。