Analysis on Qualitative Properties and Singularities of Solutions to k-Hessian Equation and k-curvature Equation

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は次の研究を行った。(1) k-曲率方程式 H_k[u]=f(u)g(|Du|) の境界爆発問題の解の境界付近における漸近挙動に関する研究を行った。これについては研究代表者による既存の結果があるが，f(u) が u→∞で u^p のオーダーで増大し，g(t) が t→∞で t^{-q} のオーダーで減衰する場合については，p と q から定める定数γを用いて，u(x) が x から境界までの距離 d(x)のγ乗の定数倍で上から評価でき，さらに d(x) のγ乗の（別の）定数倍で下からも評価できることが示されたに過ぎなかった。本研究では，比較する優解・劣解をより精密に構成することにより，境界爆発問題の解 u(x) の境界付近における漸近挙動の主要項における d(x) のγ乗の係数を正確に決定することに成功した。この研究をまとめた論文は Manuscripta Mathematica 誌に掲載された。(2) 半線形 Poisson 方程式 Δu=f(u)（これは k-Hessian 方程式において k=1 という特別な場合に対応する）の境界爆発問題において，f(u)=u^p+αu^q のときの解 u(x) の境界付近における漸近挙動については，これまでの研究により第 2 項まで求められていた。研究代表者は，Yuxiao Zhang 氏（広島大学）との共同研究により，漸近挙動の第 3 項を求めることに成功した。漸近挙動の第 2 項は第 1 項の距離関数 d(x) 倍のオーダーであるのだが，ある状況においては第 3 項は第 2 項の d(x) の分数べき倍のオーダーとなることが興味深い点である。この研究をまとめた論文を執筆し，学術雑誌に投稿中である。