非線形特徴量に基づく新たな高次元統計理論の開発とその応用

本研究の土台となる研究課題「高次のモーメントを用いた高次元分類法の考案」に取り組み、高次のモーメントを用いた高次元クラスタリングの分類理論を確立した。まずは、既存の研究が不十分であった高次元データにおける階層的クラスタリングの漸近理論の構築に取り組んだ。階層的クラスタリングにより構築される階層構造の高次元漸近的性質を調査し、正則条件のもとで特徴的な3つの振る舞いが起こることを証明した。それら3つの振る舞いとも、混合するデータのクラスが明確にわかる階層構造となっている。その正則条件は、混合するデータのクラス間の平均ベクトルの差異だけではなく、2次のモーメント情報である共分散行列間の差異にも依存しており、それらの差異によりデータのクラス毎の高精度な分類が可能となっている。さらに、カーネルk-means法における高次元漸近的性質を調査し、特にガウシアンカーネル関数を用いたカーネルk-means法の分類に関する高次元一致性を証明した。これは、ガウシアンカーネル関数で表現される共分散行列間の差異を積極的に利用することで高精度な分類が可能となっている。一方で、Sei (2016, JMVA)で提案された変数間で公平な指数である客観的総合指数の高次元漸近理論を初めて与えた。さらに、その理論に基づく応用例として、遺伝子発現データの分類問題を考え、客観的総合指数の係数の大小により有意な遺伝子の選択と分類が可能であることを例示した。

本研究の土台となる研究課題「高次のモーメントを用いた高次元分類法の考案」に取り組み、高次のモーメントを用いた高次元クラスタリングの分類理論を確立した。まずは、既存の研究が不十分であった高次元データにおける階層的クラスタリングの漸近理論の構築に取り組んだ。階層的クラスタリングにより構築される階層構造の高次元漸近的性質を調査し、正則条件のもとで特徴的な3つの振る舞いが起こることを証明した。それら3つの振る舞いとも、混合するデータのクラスが明確にわかる階層構造となっている。その正則条件は、混合するデータのクラス間の平均ベクトルの差異だけではなく、2次のモーメント情報である共分散行列間の差異にも依存しており、それらの差異によりデータのクラス毎の高精度な分類が可能となっている。さらに、カーネルk-means法における高次元漸近的性質を調査し、特にガウシアンカーネル関数を用いたカーネルk-means法の分類に関する高次元一致性を証明した。これは、ガウシアンカーネル関数で表現される共分散行列間の差異を積極的に利用することで高精度な分類が可能となっている。一方で、Sei (2016, JMVA)で提案された変数間で公平な指数である客観的総合指数の高次元漸近理論を初めて与えた。さらに、その理論に基づく応用例として、遺伝子発現データの分類問題を考え、客観的総合指数の係数の大小により有意な遺伝子の選択と分類が可能であることを例示した。