Duality in Banach spaces and uniform spaces in constructive and predicative set theory

数学理論により堅固な基礎を与える構成性と可述性に注目し、「構成性・可述性を保証するように論理・集合論を制限した場合、どのような数学理論がどこまで展開できるか」という独自の問いに迫るため、ケーススタディとして構成的かつ可述的な集合論CZFおよびその部分体系においてバナッハ空間における双対性と一様空間それぞれの理論の構築を試みた。集合論における多くの恒等性（等号）は、集合とその上の同値関係を用いて商集合を構成することによって与えられているが、商集合を構成すると代表元に関する情報が失われてしまう。代表元の情報を取り出すためには選択公理が必要だが、選択公理を仮定すると構成性・可述性がともに崩れてしまう。そのため集合とその上の同値関係の対により定義されるセトイドを中心的な概念として扱う必要があることが判明した。バナッハ空間の双対性を扱うためには、線形空間と原点を含む部分集合（単位球）およびそれにより生成される一様位相を考えればよいことが明らかになった。和とスカラー倍が連続になるために単位球が満たすべき条件を吟味した（している）。このように捉えれば、一様位相は有向集合により添字付けされた基あるいは近傍族により与えることが自然であることが分かってきた。バナッハ空間が完備であることを考えれば、このように定義された一様位相の完備化を与えることが重要である。完備化の手法としてはコーシー・フィルターとコーシー・ネットがあるが、距離空間の場合の一般化として完備化を定義すればネットを用いることが自然である。この場合恒等性の問題と深く関係しており完備一様空間はセトイドとして与えなければならないことが判明した。

数学理論により堅固な基礎を与える構成性と可述性に注目し、「構成性・可述性を保証するように論理・集合論を制限した場合、どのような数学理論がどこまで展開できるか」という独自の問いに迫るため、ケーススタディとして構成的かつ可述的な集合論CZFおよびその部分体系においてバナッハ空間における双対性と一様空間それぞれの理論の構築を試みた。集合論における多くの恒等性（等号）は、集合とその上の同値関係を用いて商集合を構成することによって与えられているが、商集合を構成すると代表元に関する情報が失われてしまう。代表元の情報を取り出すためには選択公理が必要だが、選択公理を仮定すると構成性・可述性がともに崩れてしまう。そのため集合とその上の同値関係の対により定義されるセトイドを中心的な概念として扱う必要があることが判明した。バナッハ空間の双対性を扱うためには、線形空間と原点を含む部分集合（単位球）およびそれにより生成される一様位相を考えればよいことが明らかになった。和とスカラー倍が連続になるために単位球が満たすべき条件を吟味した（している）。このように捉えれば、一様位相は有向集合により添字付けされた基あるいは近傍族により与えることが自然であることが分かってきた。バナッハ空間が完備であることを考えれば、このように定義された一様位相の完備化を与えることが重要である。完備化の手法としてはコーシー・フィルターとコーシー・ネットがあるが、距離空間の場合の一般化として完備化を定義すればネットを用いることが自然である。この場合恒等性の問題と深く関係しており完備一様空間はセトイドとして与えなければならないことが判明した。