量子代数曲線と対称性から探る、超共形場の理論と超弦理論

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M理論のM2ブレーンを記述するABJM理論やその拡張となる超対称チャーン・サイモンズ理論は可積分対称性を持つと期待される。本年度では研究代表者らの先行研究で調べてきた四点円周クイバー型の超対称チャーン・サイモンズ理論の分配関数についてさらに詳しく解析を進めた。四点円周クイバー理論はD5代数のワイル群の対称性を持つ量子代数曲線に対応し、その対応から、同じくD5曲線に対応するq変形された第6パンルヴェ方程式との関連が期待されている。本研究において、まず最低の全体ランクを持つ場合に円周クイバーが線形クイバーに退化することに着目し、様々な相対ランクで最低ランクの分配関数をFIパラメータの関数形として厳密に評価した。最低ランクの分配関数は既に多くの非自明な内容を持つ。例えば、先行研究によれば超対称性を保つには相対ランクが限られた領域に限定されるが、この領域でのみ分配関数が非零になることを確認できた。また、q変形第6パンルヴェ方程式はタウ関数の双線形関係式による実現が知られているので、最低ランクの分配関数に対して同様の双線形関係式を探索した。その結果、40個の非自明な係数を持つ双線形関係式を発見した。双線形関係式はD5アフィンワイル群構造を明示的に保つが、関係式の係数までそのワイル群を尊重するとは限らない。そのため、係数を含めて40個の関係式を特定したことは重要な意義を持つ。さらに、最低ランクの分配関数を大正準分配関数の最低次と見なすことにより、40個の双線形関係式が大正準分配関数の関係式に拡大することも発見した。類似の先行研究と比較して、本研究では、最低ランクの分配関数による全体的な係数の意味付け、高次係数のワイル群不変性など様々な点が改良され、超対称チャーン・サイモンズ理論とパンルヴェ方程式の関係がより明確になった。本研究成果は発表準備中である。