計算機代数幾何学としての曲線論・曲面論の研究

1. 代数曲線論や曲面論ではブローアップによる特異点の解消が最も基本的で重要な事項である。本年度は、昨年の有理数係数の多項式で与えられる代数曲線の特異点解消の例外曲線のDuaI Graphの計算システムを更に改良し、Risa/Asir上で実装した。よく知られたBrieskorn らによるアルゴリズムでは途中に生じる局所規約成分同士の交点数の計算が重い計算となるが、本研究ではニュートン境界の各面に対応する既約場合の連分数展開による双対グラフからニュートン境界全体の双対グラフを生成するアルゴリズムにより、数十倍の高速な計算が可能になった。2. 次に、昨年開発した One Place at infinityの平面代数曲線の無限遠での特異点解消の Dual Graph の分類の計算システムを活用して、直線の平面への Immertionの分類問題を研究した。それを、平面から平面へのJacobianが非零定数の多項式写像に関するいわゆる Jacobian 予想の研究に応用した。Jacobian予想に反例が存在すると仮定した場合の多項式写像のによる直線の像曲線族を調べ、存在しうる最小次数の曲線の無限遠での特異点解消の Dual Graph 計算を行い、次数が100迄の分類を行った。この種の計算はMohによってJacobian行列式の形から計算機で分類することが行われているが、曲線の特異点の幾何学的性質の解析と結びついた形での計算は初めてである。まだ、Mohの計算結果と同等の結果には到達していないが、幾何学的解析が可能なことから、今後更に追跡研究が可能となると予想される。

1. 代数曲線論や曲面論ではブローアップによる特異点の解消が最も基本的で重要な事項である。本年度は、昨年の有理数係数の多項式で与えられる代数曲線の特異点解消の例外曲線のDuaI Graphの計算システムを更に改良し、Risa/Asir上で実装した。よく知られたBrieskorn らによるアルゴリズムでは途中に生じる局所規約成分同士の交点数の計算が重い計算となるが、本研究ではニュートン境界の各面に対応する既約場合の連分数展開による双対グラフからニュートン境界全体の双対グラフを生成するアルゴリズムにより、数十倍の高速な計算が可能になった。2. 次に、昨年開発した One Place at infinityの平面代数曲線の無限遠での特異点解消の Dual Graph の分類の計算システムを活用して、直線の平面への Immertionの分類問題を研究した。それを、平面から平面へのJacobianが非零定数の多項式写像に関するいわゆる Jacobian 予想の研究に応用した。Jacobian予想に反例が存在すると仮定した場合の多項式写像のによる直線の像曲線族を調べ、存在しうる最小次数の曲線の無限遠での特異点解消の Dual Graph 計算を行い、次数が100迄の分類を行った。この種の計算はMohによってJacobian行列式の形から計算機で分類することが行われているが、曲線の特異点の幾何学的性質の解析と結びついた形での計算は初めてである。まだ、Mohの計算結果と同等の結果には到達していないが、幾何学的解析が可能なことから、今後更に追跡研究が可能となると予想される。