Semiclassical distribution of quantum resonances and graph structure of classical trapped trajectories

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は行列シュレディンガー作用素（1, 2, 3）および量子ウォーク（4）のそれぞれにおける量子共鳴について個別に研究を進め、主に以下の成果が得られた。1)行列シュレディンガー作用素の量子共鳴：２つの（スカラー）シュレディンガー作用素を対角成分とする行列シュレディンガー作用素の量子共鳴の半古典漸近分布を研究した。特にスカラー作用素の一方が捕捉的（特に井戸型）、もう一方が非捕捉的であるような実エネルギーの近傍の量子共鳴に着目し、対応する一般化古典軌道の幾何学的量を反映して分布することを明らかにした。一般化古典軌道はそれぞれのスカラー作用素に対応する古典軌道の「和」として導入される。一般化古典軌道に確率振幅を定義することにより、Bohr-Sommerfeld量子化条件「固有値（または量子共鳴）では周期軌道を一周する確率振幅が１となる」を一般化した。2)行列シュレディンガー作用素の散乱行列：一般化古典軌道に対する確率振幅を用いることで散乱行列の漸近挙動が明らかになった。特に、スカラー作用素に対して知られ、ダイオードに応用される共鳴トンネル現象に類似の現象が行列値の場合にも見られることを示した。3)断熱遷移問題：1)において一般化古典軌道に確率振幅を定義する際、古典軌道同士が交差する点の近傍での超局所解の挙動の解析は行列作用素に特有の問題となる。1)ではその挙動を表す「局所散乱行列」を導入することで確率振幅を定義した。なかでも接触交差における局所散乱行列の漸近挙動については大きな進展となったため、その解析手法を断熱遷移問題に現れる１階の行列作用素へ適用した。両者の局所散乱行列には接触に関する共通の幾何学的量がみられることから、さらなる一般化が期待される。4)量子ウォークの量子共鳴：量子ウォークに量子共鳴を導入し、量子ウォークの長時間挙動は量子共鳴の分布を反映することを示した。