関数空間およびBanach加群における保存問題の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

前年度投稿中であった，n階連続微分可能な境界値をもつ正則関数のなすBanach空間の(線型性を仮定しない)全射等距離写像の決定の論文は，査読付き論文誌Kokyuroku Bessatsuにacceptされた．Cabezas, Cueto-Avellaneda, Peralta氏および受入研究者のMiura氏との共同研究によって，σノルムを備えた関数空間のフレームワークを導入し，そのTingley問題を解決する研究に携わった．Tingley問題とは，ノルム空間の球面の間の全射等距離写像がノルム空間全体の全射等距離写像に延長されるかを問う問題である．このフレームワークは，連続微分可能な複素数値関数の空間，Lipschitz関数の空間，関数環を積分した関数空間など，重要な関数空間を含むものであり，それらの単位球面の幾何学的構造が明らかになった．この結果は現在投稿中である．また，連続微分可能な複素数値関数の空間に和ノルムを与えたBanach空間を対象に，Tingley問題の解決を目指し研究を行った．この研究に関しては，Tingley問題の解決まで到達しなかったが，その単位球面の極大凸集合の構造を完全に決定することができた．先行研究によって，球面の間の全射等距離写像は極大凸集合を保存することが知られており，これはTingley問題を解決するための糸口になる．また，一般に関数空間の単位球の極大凸集合はChoquet境界の点と(ある程度の)対応があるが，ここで対象にした関数空間ではChoquet境界の点で極大凸集合に対応しないものがあるという状況を示す例となっていることが判明した．