A study on the homology group of symplectic derivation Lie algebras

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本研究はシンプレクティック微分リー代数を代数的および幾何的に理解することを目的とする研究である。シンプレクティック微分リー代数とは数種類のリー代数の系列の総称であり、その中でもcommutative caseと呼ばれる系列はVassiliev不変量の拡張やグラフ複体、またQ多様体と呼ばれる超多様体の特性類の構成に応用されている。これらの系列はそれぞれ正ウェイト部分と呼ばれる部分リー代数を持つが、commutative caseの正ウェイト部分のホモロジー群については、1次および2次の部分を除いてほとんど明らかになっていない。この正ウェイト部分のホモロジー群が明らかになれば、上に述べた特性類の構成を系統的にできると期待される。本年度における研究ではcommutative caseにおける正ウェイト部分の3次ホモロジー群の決定を試みたが、いまだ決定には至っていない。以前の研究においてはシンプレクティック群の表現論を用いた組合せ的な手法を用いて2次ホモロジー群を決定しており、原理的には3次ホモロジー群にも応用が可能なものであるが、3次の場合においては2次の場合においては現れなかった組合せ的な複雑性が非常に大きくなることが分かったためである。同様に、低次のホモロジー類から高次のコホモロジー類を構成する場合にも同様の複雑性が現れる。また、本研究に関連する成果については学会やシンプレクティック幾何を扱う研究集会などにおいて発表しており、本年度は7件の研究発表を行なった。