超幾何関数とK3曲面

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本研究の目的は，K3格子上の自己同型の構成に超幾何群の理論を導入することで具体例を量産し，その結果を解析することでK3曲面上の力学系に対する理解を深めること，特にエントロピースペクトラムを決定すること，さらにその過程において超幾何群の理論と格子上の自己同型の理論を発達させることであった．本年度の成果として，岩﨑克則との共著論文「K3 surfaces, Picard numbers and Siegel disks」が国際学術誌 J. Pure Appl. Algebra から出版されたことが挙げられる．内容としては，超幾何群の理論を用いたK3格子自己同型の構成を用いて「0以上18以下の任意の偶数に対して，その数をPicard数としてもつK3曲面であって，Siegel円板をもつ自己同型を許容するものが存在する」という結果を示したものである．また，不動点のまわりにランク１の回転領域をもつK3曲面の自己同型の存在も示している．これまでは不動点のまわりの回転領域に関していえばランク２のもの，すなわちSiegel円板，に注目されていたから，これは今後の展開が期待される結果である．また，エントロピースペクトラムの問題に関して，「20次のSalem数はすべて非射影的なK3曲面の自己同型のエントロピーとして実現される」という結果を得た．これは E. Bayer-Fluckiger による仕事を拡張するものであり，エントロピースペクトラムの問題の解決への重要な一歩である．この成果をまとめたプレプリント「Lattice isometries and K3 surface automorphisms: Salem numbers of degree 20」を完成させた．なお，このプレプリントの成果は，本質的には格子の自己同型に関する理論における成果であり，他分野への応用も期待される．