铁磁链方程与液晶材料的Ericksen-Leslie方程的一些数学问题

铁磁材料和液晶材料是非常有用的材料，它们成为物理学、材料学和数学的重要研究对象之一。本课题研究对象是由这两种材料衍生出来的铁磁链方程（也称为Landau-Lifshitz方程）和Ericksen-Leslie方程。这两个方程是调和映照热流、Navier-Stokes方程和Maxwell方程组密切相关，受到数学界与物理界的广泛关注。本课题将研究这两类方程的一些数学问题，包括解的存在性、部分正则性、解的奇点集合及其刻画等。这些问题的研究需要探究新的研究方法和研究技巧。同时，又可以诠释或发现物理现象、推动材料科学自身的发展。.在Ericksen-Leslie方程的研究方面，项目组得到了n维液晶流方程在临界Sobolev空间的整体解得存在性；同时得到了液晶流的唯一性以及粗糙初值整体解的正则性结果。对于可压液晶模型，主要得到二维几乎可压模型的整体存在性，一维整体光滑解的存在性；得到高维(大于或等于二维)带有非负初始密度的可压液晶流的整体径向对称解的存在性。在铁磁链方程研究方面，主要在一定条件下，找到了三维铁磁链方程耦合Maxwell方程一个有限时刻爆破的解。得到一维具有Robin初边值的铁磁链方程的整体光滑解的存在唯一性。作为非线性偏微分的研究课题，课题组成员还研究了相关的其他方程的研究，这些研究成果可以丰富本课题的研究方法和思路。