时间谐波涡流电磁问题离散矩阵的预处理及快速计算

Eddy current electromagnetic problems, i.e., modelling the interaction of magnetic and electric field, arise as an application of Maxwell's equations. The solution of the problems will be transformed into the solution of the discretized systems of these problems and will result in a class of large sparse block-structured linear systems. Therefore, designing preconditioning techniques and fast solvers for discretized matrices from time-harmonic eddy current electromagnetic problems plays an important role in solving those practical problems. However, up to now, very few algorithms can be used to solve such large sparse block-structured linear systems efficiently. In order to solve these problems efficiently, we will first study the efficient iterative methods for large sparse 2-by-2 block-structured linear systems and analyze the special structural properties of the coefficient matrices. Then we will construct new iterative methods by making use of the matrix splitting techniques and the special properties of the block matrices. After modifying the splitting matrices from the new iterative methods, we will obtain some new better preconditioners which are more approximate to the original coefficient matrices. We will analyze the convergence properties of the new iterative methods, the spectral properties of the preconditioned matrices and the (quasi-)optimal iterative parameters. The results obtained by this project not only provide efficient iterative methods and preconditioning techniques for large sparse double 2-by-2 block-structured and 4-by-4 block-structured linear systems, but also propose some strategies to solve some more general block-structured linear systems. Furthermore, those new methods may be beneficial to fast solve the associated problems.

模拟磁场和电场相互作用得到的涡流电磁问题在Maxwell方程的应用中经常出现，该问题的求解将转化为对大型稀疏分块结构线性系统的求解。因此，设计时间谐波涡流电磁问题离散矩阵的预处理和快速计算对解决相关实际问题起着至关重要的作用。然而，到目前为止，适合这类大型稀疏块结构线性系统求解的高效算法并不多见。为了有效地求解该问题，本项目拟借鉴大型稀疏2乘2块结构线性系统求解方法的设计经验，通过分析系数矩阵的特殊结构，利用矩阵分裂并结合分块矩阵的特殊性质构造新的迭代法，并把对应的分裂矩阵作为预条件子，通过对该预条件子进行修正，得到求解这类线性系统的高效预处理技术，理论上给出新算法的收敛性、预处理矩阵的谱性质及(拟)最优迭代参数。本项目的研究成果将得到大型稀疏双2乘2块结构和4乘4块结构线性系统的高效算法及预处理技术，为一般块结构矩阵的快速计算提供一定的思路，进而为相关领域实际问题的有效求解提供算法保障。

时间谐波涡流电磁问题在许多实际应用中经常出现，该问题的求解将转化为对大型稀疏分块结构线性系统的求解。因此，设计这类问题对应的离散矩阵的预处理和快速算法对解决相关实际问题起着至关重要的作用。.本项目研究了一系列与时间谐波涡流电磁问题相关的实际应用问题中对应大型稀疏块结构系统的快速求解算法及预处理技术。针对涡流电磁问题得到的4×4块结构线性系统以及时间周期抛物型最优控制问题离散得到的一种特殊2×2块结构的线性系统的快速求解，我们分别设计了RSS迭代法以及RSS类预处理迭代方法，分别给出了收敛性条件以及理论上的最优参数，并用数值例子验证了理论结果的正确性以及新算法的可行性和有效性；针对一类大型稀疏2×2块结构的广义鞍点系统的求解，设计了一种基于循环矩阵的新的加速GSOR迭代方法；针对变系数空间分数阶扩散方程以及空间分数阶扩散方程的求解，分别构造了对角乘Toeplitz分裂迭代法和基于τ矩阵的近似逆预处理迭代法；针对一类结构化的线性及非线性的复系统的快速求解，分别设计了改进的QHSS迭代方法、基于移位算子的C-to-R迭代方法、基于C-to-R的Picard迭代方法、基于C-to-R的非线性迭代方法以及关于PMHSS迭代方法的一种新的变形算法。所有新算法我们都给出了对应的收敛性条件，并用实验验证了理论结果的正确性以及实际应用时的有效性。.这些研究成果，包括设计得到的新算法、得到的理论结果以及用到的程序和实验数据可供相关领域实际问题的快速求解提供一定的思路，进而为这些问题的有效求解提供算法保障。

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