强八元数矩阵代数与矢量传感器阵列多维信号处理

本项目主要研究强八元数代数（即八元数代数、可除代数、四元数代数等）上的二次方程的求解、多个矩阵的同时分解、一些复杂矩阵方程组的各种解的精确求解及逼近解。. 我们给出了八元数二次方程的通解表示，设计了有效求二次八元数方程根的Matlab package；建立了可除代数上多个矩阵的同时相抵分解理论；给出了计算四元数多项式环上矩阵的Moore-Penrose广义逆的有效算法，并可用符号程序语言Maple来执行；建立了半环上矩阵有Moore-Penrose逆的充要条件，在矩阵半环上，建立了矩阵存在Drzain逆和Moore-Penrose 逆的判别法则；在C* 模上给出了几类复杂的算子方程组有正解、Hermitian解的充要条件及其通解表达式；研究了18类矩阵方程和矩阵方程组可解的充要条件及其通解表达式及最小二乘解、最小二乘双对称解，双半正定最小秩解、 (P,Q)-对称解、迭代解等的若干充要条件及其此类解的表达式，某些矩阵方程和矩阵方程组解的最大和最小秩及惯性指数，给出了求极小范数最小二乘解的有效数值方法及其在图像处理中的应用；结合Newton迭代法，解决了求解约束Sylvester矩阵方程问题，给出了双对称矩阵的一种结构，将双对称矩阵的含参数特征值反问题转化为低阶对称矩阵的含参数特征值反问题，从而求出其数值解；给出了由3个广义Sylvester矩阵方程构成的耦合矩阵方程组有解的充要条件及其通解表达式；给出了对协方差矩阵秩和随机有效向量与随机误差向量之间相关性无任何限制的一般广义混合线性模型的最优线性无偏估计和最优线性无偏预测的表示；给出了一类约束增长模型最佳线性无偏估计、最小二乘估计和加权最小二乘估计存在的充分必要条件及其表达形式；证明了在稀疏信号恢复和图像处理中有着重要的应用的L2/3算法的收敛性问题，给出了一系列数值实验证明了L2/3算法收敛性理论的正确性以及它的有效性，为L2/3算法在稀疏信号恢复和图像处理中更为广泛的应用提供了理论保证。. 本项目已在重要的国际学术刊物上发表了34篇SCI论文，其中ESI高倍引论文1篇；培养了多名优秀的博士和硕士；主办和协办了6次高规格的大型国际学术会议。. 本项目的研究结果不仅促进了矩阵代数的深入发展，并为矢量传感器阵列多维信号等的处理提供了理论基础。