退化k-Hessian方程解的正则性研究

从微分几何的角度来说，k-Hessian方程来自于Christoffel-Minkowski问题，特别地，当k=1时，k-Hessian 方程即为平均曲率方程；当k=n时， k-Hessian方程即为Monge-Ampere 方程，它对应于给定曲率的Minkowski问题。当非齐次项非负时，方程可能是退化的。在本项目中， 我们研究k-Hessian方程解的正则性，得到如下主要结果：当k>1时，证明一类完全非线性二阶抛物方程解的先验估计; 在得到退化k-Hessian方程的二阶多项式解的完全分类后，证明其光滑局部解存在性，以及在一定条件下， 凸解的存在性；当k=1时，讨论在多种位势条件下，非线性Schrodinger方程的变号解的存在性及其渐近性态。其意义在于：得到完全非线性二阶抛物方程解的内部的部分正则性，推广了相应的线性方程的经典的内部的正则性结果；找到了判定k-Hessian方程的线性化算子的一致椭圆性的充分必要条件；与通常的认知不同，在具有变号和消失位势的条件下，证明关于非线性Schrodinger方程的变号基态解的存在性。