环流形上的Calabi极值度量

本项目主要围绕Kahler流形上典型度量存在性，尤其是环流形上的Calabi极值度量等，并研究相关的流形几何不变量意义下的稳定稳定性、对应的完全非线性偏微分方程等问题。我们首先对Abreu方程各类问题，包括边值问题、整体解分类、障碍型问题等做了深入研究。其中，最关键的是对方程正则性理论的讨论。在此基础上，我们又用Trudinger-Wang在解决仿射 Plateau 问题中的变分方法，得到了环曲面上极值度量弱解的存在性，内部光滑性和唯一性。边界正则性仍然是个困难的问题，有待进一步研究。项目的另一个重要成果是通过使用Riemann-Roch理论研究修正Futaki不变量和修正K稳定性，提出了关于Kahler-Ricci孤立子存在性的广义丘成桐-田刚-Donaldson猜想。此外，我们还对非线性方程的位势理论做了多方面的研究，包括复Hessian方程、Weingarten曲率方程等。