三类非椭圆代数曲线上的密码特性研究

This project will deal with the cryptographic characteristics of the three kinds of non-elliptic algebraic curves over finite fields. The first class is the hyperelliptic curve C_1: y^2 = x^p + ax + b over any field of characteristic p; The second class is the hyperelliptic curve C_2: y^2 + h(x)y = x^(2g + 1) + ax + b over any finite field with g > 1 and h(x) = 0,1 or x; The third class is the algebraic curve C_{ab} with a = 3, and b = 4,5 or 7...We will do research on the following four cryptographic characteristics of the three classes of non-elliptic curve algebraic curves:..1) The algebraic properties of the Jacobian groups of the curves and the formulized representations for the computations of group operations;..2).Efficient algorithms for the computation of the orders of the Jacobian groups of the curves;..3).Efficient algorithms for the computation of divisor scalar multiplications on the Jacobian groups of the curves;..4) The discrete logarithm problems on the Jacobian groups of the curves.

本项目研究三类非椭圆代数曲线的密码特性. 第一类是奇特征p 的任意次扩域上的超椭圆曲线C_1: y^2 = x^p + ax + b；第二类是有限域上的超椭圆曲线C_2: y^2 + h(x)y = x^(2g + 1) + ax + b, 其中g是大于1的正整数，h(x) = 0,1或x ；第三类是有限域上的代数曲线A ={a,b}型的代数曲线C_{ab} ,主要考虑a = 3与b = 4,5及7的情形。.拟研究基于这三类非椭圆代数曲线上的以下四个密码特性：..1）曲线上Jacobian 群代数性质及群运算的公式化计算表示；.2）求曲线上Jacobian 群阶的有效算法；.3）其Jacobian 群上除子标量乘的快速算法；.4）基于这三类曲线的Jacobian 群上的离散对数问题.

本项目对曲线C1（亦即Cq）与C2上Jacobian群运算，特征多项式与Jacobian群阶、除子标量乘等算法、曲线 上（Jacobian群）理想类群结构、C1与C2两类曲线上的离散对数问题、双线性对Miller 算法改进、C1及C2上Tate 对、Ate对及R-Ate 对快速计算、Jacobia 四次曲线与超奇异Weistrass曲线上的同构分类和特征多项式等进行了研究。此外还对无线传感网络的密钥安全管理问题、模糊金库新构造问题、有限域上Gröbner基及其在密码学上应用的最新进展等问题以及高维空间中有限数据集的降维方法进行了研究。我们对这些问题的研究取得了若干好的成果。.研究成果有：1）详尽给出了奇特征 的任意次扩域上的C_1类曲线在各种参数情况下特征多项式的公式化表示，由此可给出相应Jacobian群阶。2）引入单除子的概念，将一般除子表示成若干单除子的和，给出一般p-标量乘计算公式，进而提出两种计算C_1上除子标量乘的快速算法，它们的运算量要比符号二元法少55%至76%。3）借助Knudsen及Schroeppel的亏格2超椭圆曲线上的除子半化方法，推导出亏格3的超椭圆曲线上的除子半化算法。此半化算法比最好的倍加算法有效得多，由此可直接得到偶特征域上亏格3的超椭圆曲线上的标量乘快速算法。4）利用密码Hash函数构造Hash函数值序列链及反向Hash函数值序列链，提出基于Hash链和部署知识的无线传感器网络下的密钥分配方案。5）提出基于经典模糊金库方案及DH密钥交换协议的新型密钥共享模糊金库方案。在这种密钥共享方案中，用户双方可基于DH密钥交换协议，各自利用自己的生物特征建立一个共享的模糊金库。在需要获取共享密钥时，任何一方通过输入自己的生物特征并需要在另一方的协助下才可以获取他们共享的密钥。6）优化了Tate 对的Miller 算法。利用标量乘的{2, p}-双基链方法，提出了C_1与C_2两类曲线上Tate 对、R-Ate 对及Eta 对快速计算公式。7）基于模糊逻辑的思想，提出了基于高维空间映射的指纹加密方法。这种方法整合了模糊金库、模糊承诺以及动态密钥生成技术。8）对有限域上Gröbner基的有关最新研究工作进展的进行了分析综述。9）证明了可以将有限域上的代数码用于对高维欧氏空间中的数据进行显式、快速的Johnson-Lindenstrauss投射。

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