示性类与闭流形分类问题的研究

在代数拓扑和微分拓扑中, 对闭流形的变换群展开系统研究始于上世纪30年代Smith的工作, 之后随着协边理论、手术理论等一些新的手段和方法融入其中, 极大地推进了拓扑变换群理论的发展。在流形上对应于群G = (Z_2 ) ^k , (Z_p ) ^k, (S^1 )^k 的三种作用形成了流形上变换群研究的主体(其中p为奇素数)，上述作用通常称为2-环面作用、p-环面作用和环面作用。近几十年来，受代数几何中环面簇理论的影响, 拓扑学中对变换群理论（特别是2-环面作用和环面作用）的研究使组合数学、辛几何、同调代数和交换代数等学科相互交叉,形成了一个新的研究方向---环面拓扑。环面拓扑研究一类环面作用,该作用的轨道空间有比较好的组合结构，从而使我们可以用轨道空间的组合信息来计算拓扑不变量。. 具有群作用的闭流形的分类问题是该领域基本而重要的任务之一。对群G = (Z_2 ) ^k , (Z_p ) ^k, (S^1 )^k , 本项目从考虑群作用的轨道空间和不动点集的几何结构出发，主要研究了具有群G作用的一些闭流形在多种意义下的分类（如协边、等变同胚分类等）及其分类个数的计算等相关性质，所得结果进一步丰富了拓扑变换群理论的内容又促进了与相关学科的联系，达到了该项目的预期目标。具体讲，主要包含以下几个结果：（1）具有(Z_2 ) ^k作用的闭流形的上协边类与该作用的不动点集上的法丛有密切联系，对此我们引入了“最小法丛信息量”的概念，在一定程度上它反映(Z_2 ) ^k作用的复杂性，同时对不动点集余维数比较小的情况计算了它或给出它的较小上界。对一般余维数的情况也决定了一类特殊闭流形的上协边类；（2）设光滑闭流形M^k具有局部标准的(Z_2 ) ^k 作用，作用的轨道空间为简单凸多胞形P^k, 此时称M^k为P^k 上的小覆盖。对某些固定的P^k，我们给出了P^k上的(可定向)小覆盖的等变同胚类个数的一般公式；（3）确定了复射影空间CP(j)与四元数射影空间HP(k)乘积上任意向量丛的全Stiefel-Whitney示性类，并讨论了示性类在闭流形等变协边分类中的应用；（4）对G =Z_p 和S^1 ，利用局部化定理和等变指数给出了一类G流形等变上同调环的具体描述，从而使得等变映射导出的同态可以具体化。