三维流形的Generalized Seifert Fiber分解

Lusternik-Schnirelman Category is one of the classic theories in the study of manifold. Fruitful results have been obtained, but there are still a lot of open problems remained. This program focuses on Lusternik-Schnirelman Category and its generalization for 3-manifold, including S^1 Category、torus Category、Klein Bottle Category、Homological Category and the closely related Singhof fillings. The main theory to be used is generalized Seifert Fiber space theory, especially those with reflector curve. This is a natural generalization of Seifert Fiber space, and can be used to study non-orientable manifolds effectively and offers a more unifying discussion of problems.

Lusternik-Schnirelman 范畴是流形研究中的经典理论之一。虽然已经取得了一些研究成果，但是仍有大量重要问题没有得到解决。本项目主要研究三维流形的Lusternik-Schnirelman范畴及其各种推广，内容包括：三维流形的圆周范畴、环范畴、克莱因瓶范畴，以及与此密切相关的同调范畴和Singhof填充等。主要理论基础为一般化Seifert Fiber空间理论，即带反射曲线的Seifert Fiber空间理论。这是Seifert Fiber空间的自然推广，可以有效用于研究不可定向流形，使得问题的讨论更加统一完整。

本项目基本围绕研究计划执行，围绕着几何拓扑学中的不变量计算开展研究工作，主要研究重点为：三维流形中一些代数不变量的研究、代数几何中陈示性类的刻画。三维流形不变量主要计算Lusternik-Schnirelman 范畴以及一些推广，特别是针对不可定向流形；并给出了pretzel扭结的Khovanov类型同调群的一个递归公式，证明了该同调群的秩是一个与类型有关的不变量。代数几何主要证明了弦论对偶性理论所预测的奇异代数簇之间的一个陈类恒等式。以代数拓扑为工具沟通了拓扑学和代数几何两个领域的相关结果，为将来做进一步的研究提供了一种新的分析方法。

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