对Lie群和Riemannian流形上路径空间和环空间的研究是近些年来无穷维随机分析的主要研究方向之一。其中研究的热点专题包括向量场流的存在性，分部积分公式，谱隙问题、Log-Sobolev 不等式，Poincare不等式以及其他一些泛函不等式，路径空间和环空间上过程的构造，对于向量场的高阶微分运算等。本项目将对Rienmannian流形的路径空间和环空间上向量场的流问题以及非紧Riemannian流形上的环空间及自由型环空间的带位势项的Log-Sobolev不等式进行研究。拟解决的主要问题是：.1、.Riemannian流形上路径空间和环空间上的适应向量场流存在唯一的条件；.2、.Riemannian流形上路径空间上适应向量场局部流存在唯一的条件;.3、.非紧流形的环空间及自由型环空间上带位势项的Log-Sobolev不等式