有限群的因子分解与含有可解传递子群的置换群

群的因子分解是把一个群表示为两个真子群的乘积，其中的两个子群称为因子。研究群的因子分解是理解及刻画群的结构的一种重要途径，其思想是通过因子的结构性质去刻画大群的结构。其重要性还在于，群的因子分解与其它数学领域里的若干重要问题有着紧密的联系，并在解决这些问题中常常起到关键的作用。比如，它已被成功地应用于：研究置换群的包含关系，刻画图的自同构群，决定图在曲面上的对称嵌入，及研究 Galois 问题的逆问题。本项目的主要研究内容包括以下三个方面的课题：（1）单群理论中的一个重要问题：分类几乎单群的所有因子分解。（2）决定含有可解传递子群的本原置换群，及可解 B-群。（3）刻画具有可解因子的有限群的结构性质。围绕着上述课题，项目组成员发表了18篇高质量的研究论文，对提出的研究问题基本上进行了解决。得到了一些很重要的研究结果。比如: (1)我们完全分类了包含可解因子的几乎单群，而且利用此结果刻画了交换群上的高弧传递凯莱图;(2) 一个亚循环图一定包含一个点传递的亚循环自同构群，但其逆命题是否成立是代数图论中长期未解的公开问题。我们证明了其逆是不真的。即一个图G是循环图当且仅当 Aut(G) 包含一个传递分裂的亚循环子群; (3) 在边传递亚循环图上取得了重要突破，给出了顶点本原边传递亚循环图的完全分类。此外，作为一个推论，分类了顶点本原局部本原图，为分类一般局部本原亚循环图创造了条件. 这些问题的解决必将在其它领域中有广泛的应用，特别是与置换群理论，代数图论及拓扑图论中的若干问题有紧密而直接的联系。