梁板强非线性动力特性的时空封闭解耦小波分析方法及其定量研究

The thin-wall structures, such as beams and plates, have been used widely in various engineering fields, especially in the aerospace engineering. Hence, the quantitative research on beams and plates with geometric nonlinearity is always a fundamental issue in nonlinear solid mechanics over nearly 100 years. However many existing methods, such as the perturbation method and finite element method are not closed, in which the truncation error explicitly depends on the approximate solution, resulting in a severe limitation on availability and reliability of these methods for solving strongly nonlinear problem. Based on the closed wavelet method developed by applicant and collaborators for solving nonlinear boundary value problems, in which the truncation error and approximate solution are decoupled, this project devotes to developing a time-space closed decoupling wavelet method for uniformly solving weakly and strongly nonlinear dynamic problems of beams and plates. It can offer method support for quantitative research on nonlinear dynamics behaviors of beams and plates, especially for their strongly nonlinear dynamics behaviors. On this basis, a systematic investigation of the dynamics responses and the applicability of some existing methods for vibrations of beams and plates with large amplitude is conducted, which provides the foundation for related applications.

梁板等薄壁结构广泛用于各类工程中，尤其是在航天航空工程之中，其几何非线性问题的定量研究一直是近百年来非线性固体力学中的基础性课题。由于诸如摄动法、有限单元法等现有方法在非线性问题求解中不具备封闭性，即截断误差显式依赖于近似解，严重制约了这些方法在强非线性问题定量研究中的有效性和可靠性。本项目在已有定量求解非线性边值问题的、可实现截断误差与近似解相互解耦的小波封闭方法(由申请人所在研究小组建立)的基础之上，着重研究建立一套空间离散与时间求解封闭解耦的、可统一求解梁板等结构弱强非线性动力学问题的小波方法，为定量研究这些结构的非线性动力特性，尤其是强非线性动力特性提供方法支持。在此基础上，进一步定量研究梁板超大振幅振动等强非线性问题中的动力响应规律，以及现有定量求解技术在此类强非线性动力学问题中的适用性，为相关应用研究提供依据。

非线性动力系统的高精度定量分析技术是当前非线性科学研究中的共性难题之一，同时梁板等广泛应用于航天航空工程之中的薄壁结构的大振幅振动也一直是固体力学与相关工程实践中的基础性课题之一。故而，本项目紧密围绕非线性问题的小波高精度定量求解技术与梁板结构的非线性振动展开研究。首先，给出了数值计算中所实际使用的、进行边界延拓处理后的小波逼近格式的严密误差估计以及一种更为简便的计算小波尺度函数与其导数多重乘积的积分的方法，进一步完善了小波方法的理论基础。其次，针对几类典型的常用于检验数值算法效能的非线性扩散波动方程，建立了相应的小波时空完全解耦算法，详细论述了所提小波算法的特征，尤其是其封闭性，相关数值结果表明所建立的小波时空封闭解耦算法相较于诸多现有数值方法具有更高的计算精度与计算效率。随后，建立了定量分析梁与圆薄板非线性振动的小波时空封闭解耦算法，就其大振幅自由振动与受迫振动中的非线性动力响应规律进行了定量研究，并对比分析了摄动法在相关问题中的适用范围。此外，课题组还将所建立的小波算法成功拓展应用于求解具有复杂边界条件的三维椭圆型问题，以及提出了可任意进行局部节点加密与适用于任意问题域的小波无网格技术，有效地增强了相关小波算法的实用性。.在本项目支持下，课题组进一步夯实了小波数值算法的理论基础，建立了定量分析非线性动力系统的小波时空封闭解耦算法，提出了一种新颖的小波无网格技术，定量研究了梁板结构大振幅振动中的非线性动力响应规律。由以上研究成果整合而成的1篇扩展摘要被国际学术会议接收为大会报告。

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