非线性偏微分方程的新型扩展混合元法高阶格式研究

We propose and study a new expanded mixed finite element method, whose gradient belongs to the simple square integrable space instead of the H(div) space of Chen's expanded mixed finite element method. We study the new expanded mixed finite element method for second-order and fourth-order nonlinear partial differential equations, prove the existence and uniqueness for weak solution and finite element solution, introduce the new expanded mixed projection, analyze a priori error estimates for the scalar unknown, its gradient, and its flux. We discretize the time direction by high order schemes and appoximated the spatial direction by high-order finite element for fully discrete a priori error estimates. We provide some numerical results to verify the theoretical analysis of the proposed new method. What's more, the theories for the classical mixed finite element method are developed by the new expanded mixed finite element method.

提出并研究新型扩展混合有限元方法，该方法的梯度所属的空间为简单的平方可积空间，代替了Chen的扩展混合有限元方法中的H(div)空间。研究二阶和四阶非线性偏微分方程的新型扩展混合有限元方法，证明弱解和有限元解的存在唯一性，建立新型扩展混合投影，分析未知纯量函数，梯度和流量的先验误差估计。在进行全离散先验误差分析时采用时间高阶格式离散和空间高次元逼近。 通过数值模拟结果验证提出新的方法理论的正确性。 重要的是新型扩展混合元方法发展了传统混合有限元理论。

研究二阶和四阶偏微分方程(如Sobolev方程、抛物型积分微分方程、二阶分数阶偏微分方程、分数阶耦合扩散方程组、四阶Cahn-Hilliard方程等)的新型(扩展)混合有限元方法，相比传统的混合元方法仅需使用简单的空间。主要研究了有限元解的存在唯一性、格式的稳定性、先验误差估计等数值理论分析，考虑了低阶和高阶时间离散逼近方法，并通过数值算例对研究方法进行数值验证说明。同时利用一些有限元或混合有限元算法(如两层网格(混合)有限元方法)对非线性分数阶Cable方程、非线性四阶分数阶反应扩散问题进行数值理论和数值模拟研究，给出一些好的数值理论和数值模拟结果。对于以上研究所取得的成果在一定程度上发展了传统的(混合)有限元数值理论，有一定的研究价值。

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