随机流与随机偏微分方程中若干问题研究

本项目基本按照原计划进行，到目前为止我们已取得了以下阶段性成果：1、采用Crippa与DeLellis的简洁方法，我们推广了DiPerna－Lions关于具有Soblev系数常微分方程的适定性结果到随机微分方程的情形，并且研究了相应小扰动下的大偏差原理以及一个极限定理，我们也推广到带跳的情形。2、用相空间变换法, 我们证明了具有Sobolev漂移系数以及由Levy过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性. 特别的我们允许漂移系数具有第一类跳跃间断点. 3、对于分式Navier-Stokes方程, 借用Constantin-Iyet的概率表示，我们用概率的方法明了局部解的存在唯一性, 同时在2维情形我们也得到了整体解的存在唯一性. 4、用Fefferman-Stein定理以及Fourier变换, 我们建立了非局部偏微分方程的L^p极大正则性理论.同时我们应用到临界多维Burgers方程的研究, 获得了光滑解的存在唯一性. 5、与王风雨合作获得了退化扩散过程的导数公式,进而证明了相应的Harnack不等式.此外我们也研究了分数次扩散算子在一阶扰动下的双边热核估计. 6、我们也用概率的方法研究了非局部积分偏微分方程解的存在唯一性. 同时获得了解的概率表示。7、我们研究了具有无界退化系数的随机偏微分方程解的适定性问题, 同时应用到非线性滤波中。8、我们研究了一般的随机Volterra积分方程以及各类随机偏微分方程解的存在唯一性以及在小扰动下的大偏差问题. 9、与董昭以及徐礼虎合作，我们研究了由\alpha稳定过程驱动的2维随机Burgers方程以及NS方程不变测度的存在唯一性问题。