反射群和Hecke 代数及其表示理论是连接代数群与李代数的表示理论的一个重要纽带。本项目要明显地刻画仿射Coxeter群的胞腔。研究Lusztig关于简约代数群的么幂类集合与相应仿射Coxeter群的双边胞腔集合之间存在逆序双射的猜想。给出相应Hecke代数的胞腔表示及其在代数群和李代数的表示理论中的应用。用组合背景较强的Brenti多项式来刻画Coxeter群的KL-多项式，并由此出发研究KL-多项式系数正性的Kazhdan- - Lusztig 猜想。找出有限阶复反射群的所有非同余表出. 并由此出发研究复反射群的群论、几何和组合等各种性质，计算有限复反射群的Hecke代数在系数环上的秩, 研究它们的代数结构. 建立非本原复反射群的Hecke代数和仿射Coxeter群的Hecke代数的联系，由此来研究非本原复反射群的Hecke代数的表示，并应用于代数群和李代数的表示理论。