分片多项式系统在几何造型中的应用基础研究

The project studies some topological theories for piecewise polynomial systems and some basic theories and methods of its applications in geometric modeling. The research content includes: the establishment of gluing theory and its "Patchwork" method for constructing the real piecewise algebraic hypersurfaces with prescribed topology, degree and smoothness; determination the boundary of Betti number for piecewise polynomial systems and establishment of the theories and the corresponding algorithms for computing the Betti number and Euler characteristic number of piecewise polynomial systems; the establishment of gluing theory for critical points and singular points of piecewise polynomials; the establishment of the restriction relations between Betti number of piecewise polynomial systems, the number of critical point of index i, the number of cells, the inner vertex and the inner public faces and the degree and smoothness of piecewise polynomials; the classification of index distributions for the critical points of piecewise polynomials with low degree, as well as the coefficient constraint conditions of piecewise polynomials. Based on the above theories and methods, we carry out the application research of semi-algebraic sets and semi-algebraic functions in the curve/surface modeling. The research target contains: the establishment of the smoothness for semi-algebraic functions and the smooth splicing theory of the semi-algebraic sets; the constructing method of semi-algebraic sets and semi-algebraic functions representing curve/surface. The project provides new theories and methods to the information and computational science, as well as provides new tools to geometric modeling.

本项目对分片多项式系统的若干拓扑理论及其在几何造型中应用的基础理论与方法进行研究。研究内容包括建立关于构造具有预先给定拓扑、给定次数及光滑度的实分片代数超曲面的粘合理论及其"Patchwork"方法；确定分片多项式系统的Betti数的界，建立计算分片系统的Betti数与Euler示性数的理论及算法；建立分片多项式的临界点和奇点的粘合理论；确立分片多项式系统的Betti数、指数为i的临界点数与剖分的胞腔数、内顶点数、内公共面数、分片多项式的次数以及光滑度之间的约束关系；确定低次分片多项式的临界点指数分布的分类，以及各类中分片多项式的系数约束条件。基于上述理论与方法，开展半代数集与半代数函数在曲线曲面造型的应用研究。研究目标：建立半代数函数的光滑性以及半代数集之间的光滑拼接理论；构造半代数集与半代数函数表示曲线曲面的方法。本项目为信息与计算科学提供新的理论和方法，为几何造型提供新的工具。

鉴于分片多项式既有一定的整体光滑性又有局部性的特性, 使得其在应用上有很大的自由度、灵活性和方便性,因此具有一定光滑度的分片代数(超) 曲面与分片多项式系统已成为表示或逼近几何物体的重要方法之一..本项目研究内容：分片多项式系统（几何中称为分片代数簇）的若干拓扑理论及其在几何造型中的应用基础理论、方法与算法的研究；半代数集与半代数函数在几何造型中的应用基础理论、方法与算法的研究。项目取得的新理论、新方法及算法成果主要如下:.1.建立了关于构造具有预先给定拓扑、给定次数及光滑度的实分片代数(超)曲面的粘合理论及其“Patchwork”方法；2. 首次确定了实分片代数(超)曲面与曲线的Betti数的界，给出了多项式系统正解数、实解数、超曲面分支数、分片代数曲线Bezout数的新界；3.建立了有理曲面高效隐式化且完全自动化的若干理论、方法及高效算法；4.建立了求解参系数分片多项式系统的理论、方法及相应算法；给出了参系数分片多项式系统关于交点数的分类理论及其算法，以及在各个胞腔上具有给定零点数的充要条件的算法；5.构建了多层次B-样条拟插值算子及其相应的数值积分方法；6.提出了基于Bézier控制点技术求解椭圆型微分方程的最小二乘方法；7建立了积分型六次样条函数插值方法；8.给出了平面参数曲线一种新的近似隐式化方法；9.建立了一类具有插值性质的MQ拟插值算子；10.构建了一类计算两点线性边值问题数值解的多步差分格式；11.提出了广义Cornu螺线的五次多项式逼近方法； 12.提出了两条Bezier曲线G3拼接的显式方法；13.提出了基于strain能量最小的G2连续五次平面Hermite插值方法。.研究成果在理论上丰富了计算几何、实代数几何、计算代数几何、计算机辅助几何设计内容。应用上将为研究计算几何、实分片代数几何以及具有复杂拓扑结构的几何造型提供新工具、新理论与新方法；为分片多项式系统在工程、科学计算以及几何造型的应用中若干关键理论与算法问题的发展提供理论与方法上的支撑。

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