对偶的 Orlicz Brunn-Minkowski 理论及应用

On the basis of the classical theory of dual mixed volumes and the booming Orlicz Brunn-Minkowski theory on convex bodies initiated in 2010, this project will focus on investigating the dual Orlicz Brunn-Minkowski theory and its applications, by using the methods of functional analysis, convex geometry and calculus of variations. To be specific, it includes the following: to extend the classical dual mixed volumes of star bodies to Orlicz setting; to search the analogs of the so called inertia ellipsoid in classical mechanics(also called the Legendre ellipsoid) in the framework of dual Orlicz Brunn-Minkowski theory; to investigate the junction point and synthesizing applications of Orlicz Brunn-Minkowski theory and its dual theory. The above mentioned topics are challenging and urgently awaited to be solved ones in convex geometry, which are naturally evolved from the developments of convex geometry since 2010 and are closely traced the hot topics and mainstream. The investigators would be strongly promoted to the highlighted position if the project is granted. We believe that the concepts and techniques developed in this project would have to yield some esential and significant achivements, which will greatly enrich the connotations of convex geometry.

本项目将以经典的对偶混合体积理论和2010年以来蓬勃发展的凸体的Orlicz Brunn-Minkowski理论为基础，综合利用泛函分析、凸体几何和变分的方法，重点研究对偶的Orlicz Brunn-Minkowski理论及其应用。具体包括：把经典的星体对偶混合体积推广到Orlicz理论框架下； 探索经典力学中的惯性椭球（又叫Legendre椭球）在Orlicz对偶混合体积理论中的推广物；研究 Orlicz对偶混合体积理论与 Orlicz混合体积理论的结合点和它们的交叉应用。 本项目的研究课题是凸体几何在最近几年的发展中自然面临的问题, 它们紧密跟踪了凸体几何研究的国际主流和研究热点, 亟待解决且具有一定的挑战性。 开展本项目的研究必将有力的促进课题组成员走向凸体几何研究的高点; 研究过程中所发展的概念和技巧必定会得到一些实质性的有意义的成果, 从而丰富凸体几何的内涵。

本项目研究对偶的 Orlicz Brunn-Minkowski 理论及其应用，这一课题是国际凸体几何学自2010年以来研究的热点和主流。其研究的主要内容包含两个方面：一方面是把经典的对偶 Brunn-Minkowski 理论推广到Orlicz 理论框架之下；另一方面是建立对偶的 Orlicz BM 理论与 Orlicz BM 理论之间的联系。..申请者在Orlicz BM 理论框架下开展研究，得到了几个深刻的结果。在本项目的资助下，已经发表 5 篇论文在国内外纯数学的著名期刊上，如 Communications in Analysis and Geometry, International Mathematics Research Notices, Journal of Geometric Analysis, Geometriae Dedicata, Science China. Mathematics 上；题为“The mixed Lp John ellipsoids” 已被国际期刊 Advances in Geometry录用； 另有一篇文章（标注了该基金号）投稿到 IMRN, 收到了非常正面并建议接受发表的审稿报告。目前文章在进一步审理之中。此外，在该基金的资助下，已经有 2 名博士（邹都、胡家麒）顺利毕业并获得理学博士学位；3 名硕士 （商小曼、廖婷、汪雷雷）顺利毕业并获得理学硕士学位。..在该基金的支持下得到的重要成果包括：（1）提出并证明了一个新原理 （ Lp transference principle）：若定义在凸体类上的非负泛函是正齐次单调增且凹的，则该泛函是 p-凹的。 进一步的，若泛函还是严格增的，则不等式中等号成立当且仅当两个凸体互为膨胀。作为该原理有效性的应用和实证，本文建立了几个新的 Lp Brunn-Minkowski 型不等式。 文章发表在国际顶尖期刊 CAG 上。（2）解决了凸体几何中的一个重要问题：当凸体满足什么条件时， 其John 椭球与 LYZ 椭球是一致的？ 这个问题由著名凸体几何学家、纽约大学张高勇（Zhang Gaoyong）教授 2000 年提出。文章发表在国际著名数学综合期刊 IMRN 上。

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