基于水平集方法的拉格朗日相干结构提取算法的研究

Lagrangian Coherent Structure (LCS) is very important in understanding complex dynamical systems and has attracted wide attentions and research from various fields. Since LCS has long been treated as a Lagrangian property of the fluid flow, the majority of numerical methods first compute the Finite Time Lyapunov Exponent (FTLE) of given systems based on the Lagrangian ray tracing method and then simply identify LCS as a ridge of the computed FTLE field, which is not accurate under most circumstances. This project aims at designing a complete set of Eulerian approaches to extract LCS from velocity fields of given dynamical systems based on the level set method and then applying these approaches to real data and practical problems to test their robustness and practicability. To achieve this, we will first propose a new efficient Eulerian approach to compute the FTLE of given velocity fields and then give an efficient algorithm to extract LCS from FTLE fields by combining the level set method with the variational method. Moreover, we will study another concept called the Finite Size Lyapunov Exponent (FSLE) which is closely related to LCS. In particular, we will try to work out an algorithm for computing the FSLE with low computational complexity. The relations between FSLE and LCS will also be discussed.

拉格朗日相干结构（LCS）在理解复杂的动力系统时具有极其重要的作用，因此受到了各个领域的研究者们普遍的关注和研究。由于LCS一直被认为是流体流动过程中的一个拉格朗日属性，传统的提取LCS的数值方法都是首先基于拉格朗日射线追踪法计算出系统的有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）场，然后直接将FTLE场的脊线当作LCS，这在很多情形下是不准确的。本项目拟突破性地基于水平集方法设计出一整套从动力系统的速度场中提取出LCS的欧拉方法，并将其应用到真实数据和实际问题当中以测试算法的鲁棒性和实用性。为此，我们首先拟设计出一种新颖高效的计算给定速度场的FTLE的欧拉方法，再结合水平集方法和变分法研究出从FTLE场中提取LCS的有效算法。此外，我们还将研究另一种跟LCS紧密相关的概念——有限体积李雅普诺夫指数（FSLE）。我们拟研究出一种具有低计算复杂度的计算FSLE的算法，同时给出FSLE与LCS之间的关系。

拉格朗日相干结构（LCS）在理解复杂的动力系统时具有极其重要的作用，因此受到了各个领域的研究者们普遍的关注和研究。在数值计算上如何准确有效地提取LCS一直是个研究热点，传统的提取LCS的数值方法都是基于拉格朗日射线追踪法，这在很多情形下是不准确的。本研究突破性地基于水平集方法设计出了一整套从动力系统的速度场中提取出LCS的欧拉方法。为此，我们首先设计出了新颖的计算给定速度场的有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）的欧拉方法，再结合水平集方法研究出了从FTLE场中提取LCS的有效算法。此外，我们还研究了另一种跟LCS紧密相关的概念——有限体积李雅普诺夫指数（FSLE）。我们设计出了一种具有低计算复杂度的计算FSLE的方法，同时还给出了FSLE与LCS之间的关系。最后，本研究中设计出来的所有算法都应用到了实际问题或真实数据当中，验证了这些算法的鲁棒性和实用性。本项目的研究成果对于LCS的研究和应用具有积极的促进作用，为今后进一步的研究打下了坚实的基础。

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