校准子流形及其相关问题

校准子流形是一类非常重要的极小子流形, 它在理论物理的弦理论和高维规范场理论中起着重要的作用。本项目与偏微分方程、复几何和辛几何等数学分支密切相关，它是整体微分几何的前沿课题之一。 我们拟应用整体微分几何、偏微分方程、复几何和辛几何的理论方法，侧重于研究校准子流形的刚性问题、形变理论、显式构造、 分类问题和奇性问题等，尤其是以特殊拉格朗日子流形和特殊拉格朗日纤维化为研究重点。刚性问题涉及校准子流形的伯恩斯坦问题，以及从各种角度刻画某些典型的特殊拉格朗日子流形及其纤维化。形变理论和显式构造有益于我们理解特殊拉格朗日纤维化的几何结构和奇性结构。本项目不仅能丰富极小子流形几何的研究内容，还体现了微分几何与理论物理的交互作用。

项目成员在该基金项目的资助下，做了如下工作：(1) 显式构造了一类austere 类空的子流形， 其法丛提供了indefinite special Lagrangian 子流形，后者是一类重要的校准子流形；(2) 对不定空间形式中的类空子流形建立了一个内蕴不等式, 并利用该不等式得到了类空子流形的刚性定理。研究了局部对称L o r e n t z 空间中满足 R = a H + b 的一类类空超曲面，导出了这类超曲面两个刚性定理。另外还研究了伪欧氏空间中完备类空子流形的第一特征值, 证明了如果Gauss像是有界的，那么其第一特征值为零；(3) 研究了复空间形式中具有共形Maslov类的Lagrangian子流形。利用一个新的第二基本形式，对于这些Lagrangian子流形建立了若干刚性定理，从而刻画了Whitney球；(4) 利用应力- 能量张量和c o a r e a 公式对于满足守恒律的p-形式给出了建立单调不等式的一般方法，由此得到了各种消灭定理. 这些应用涉及极小子流形的刚性、极小图的Bernstein定理、F - 调和映照和带位势调和映照的Liouville 定理、B o r n - I n f e l d 场、F - Y a n g M i l l s 场等的消灭定理。对于Kaehler流形之间的调和映照，建立了部分能量的单调不等式，给出了刻画全纯性的增长性条件。对于具有常数量曲率的Kaehler流形得到了刻画Ricci 平坦、单值化型的定理，对于欧氏空间中real Kaehler子流形在有限全数量曲率的条件下得到了Bernstein型的定理，推广了Kaehler子流形的已知结果。引入了Hermitian pluriharmohic map, 并从守恒律的角度建立了部分能量的单调不等式，给出了刻画全纯性的增长性条件。

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