本课题期望研究黎曼流形和Lorentz流形中的Willmore曲面整体性质。首先我们通过一些特殊黎曼流形分析流形和度量的改变对于环面的Willmore泛函的下界的影响，对比Willmore猜想，探讨环面的共形类、流形的结构和度量的共形类之间的关联。一个关键的思路是从流形中具有最好对称性的环面特别是极小环面中寻找具有最小Willmore泛函的例子。这里另外一个要考虑的问题就是是否流形中的极小曲面仍是Willmore曲面。其次，我们希望对于广义Robertson -Walker时空这一类特殊Lorentz流形中的相应问题加以讨论，增加这方面曲面的整体几何性质的研究。最后，我们通过构造一些类时Willmore环面的例子如极小环面等，来讨论Lorentz空间形式中的类时环面的Willmore泛函的取值问题等。