截面曲率有下界的带边流形及其GH极限空间的结构

The basic object we study in this project is a class of n dimensional inradius collapsed and non-inradius collapsed manifolds with boundary, which is named by the applicant and Yamaguchi. A uniform lower sectional curvature bound, two-sides bound on the second fundamental form of the boundaries and an upper diameter bound are assumed on this kind of manifolds. The research on these objects is one innovation. The content of this project is studying the fiber structure of the Gromov-Hausdorff limit space of inradius collapsed manifolds and the structure of boundary singularities of the Gromov-Hausdorff limit space of non-inradius collapsed manifolds. We intend to apply the theories such as Alexandrov geometry, fibration theorem, fundamental groups to study these two kinds of manifolds with boundary in this project. The comprehensive application of these tools is another innovation of this project..The key problems we intend to solve in this project are as follows:.(1)Characterizing the structure of the fiber of inradius collapsed manifolds over their GH limit space. Deriving the topological information of the fiber such as first betti number and fundamental group..(2) Determining the structure of type 1 and type 2 boundary singularities of the of the GH limit space of non-inradius collapsed manifolds, and derive their relationship and information of their Hausdorff dimensions.

本项目研究的基本对象是由申请人与Yamaguchi命名的n维内半径塌缩/非塌缩带边流形。这两类流形都满足：截面曲率有一致下界，边界第二基本形式的绝对值有一致上界，以及直径有一致上界。对内半径塌/非塌缩流形的深入研究是本项目的一个创新。本项目的研究内容是研究内半径塌缩流形关于Gromov-Hausdorff(GH)极限空间的纤维结构以及内半径非塌缩流形GH极限空间的边界奇点结构。本项目拟采用Alexandrov几何，纤维化定理，基本群理论等工具研究这两类带边流形，对它们的综合应用是另一个创新。.本项目拟解决的关键问题有：.(1)刻画内半径塌缩流形在GH极限空间上的纤维丛的纤维的几何与拓扑结构，得到纤维的第一Betti数估计与刚性，基本群的几乎幂零性等拓扑信息。.(2)在内半径非塌缩情形下刻画带边流形的GH极限空间的边界第一型和第二型奇异点结构，得到他们之间联系以及Hausdorff维数信息。

本项目研究的基本对象是由项目负责人与Yamaguchi命名的n维内半径塌缩/非塌缩带边流形。这两类流形都满足：截面曲率有一致下界，边界第二基本形式的绝对值有一致上界，以及直径有一致上界。对内半径塌/非塌缩流形的深入研究是本项目的一个创新。本项目的研究内容是研究内半径塌缩流形关于Gromov-Hausdorff(GH)极限空间的纤维结构以及内半径非塌缩流形GH极限空间的边界奇点结构。本项目拟采用Alexandrov几何，纤维化定理，基本群理论等工具研究这两类带边流形，对它们的综合应用是另一个创新。.项目有一定的进展，在内半径塌缩流形方面，我们证明了内半径塌缩的极限空间是Alexandrov空间，也证明了一系列的fibration定定理。在内半径非塌缩流形方面，我们得到了以下重要成果。我们发现了内半径非塌缩流形GH极限空间上有一种新的度量几何结构，称为infinitesimally Alexandrov。具有这种结构的空间是Alexandrov空间的推广。我们深入研究了内半径非塌缩流形的极限空间的边界奇点性质，也证明了极限空间可带边界奇点的内半径非塌缩流形的fibration定理，得到了带边流形的微分拓扑稳定性定理，得到了用simplicial volume描述的带边流形塌缩判别定理。然而，边界奇异点的维数和稠密性结果的证明仍在改进中。.本项目进展比较顺利，我们在内半径非塌缩流形的极限空间上发现了新的几何结构。通过综合运用Alexandrov空间上的几何理论与拓扑理论，我们建立起内半径塌缩及非塌缩流形与其极限空间的拓扑联系，为带边黎曼流形的研究带来了新的思路和认识。

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