通过第一原理计算，人们能模拟和预测材料的各种物理性质。我们围绕第一原理计算中的几个关键问题进行了研究。首先，Kohn-Sham方程是第一原理计算中的一类重要方程。注意到求解Kohn-Sham方程就是求解一类非线性特征值问题。我们围绕椭圆特征值问题的求解，设计了几类新的高效数值算法。包括：基于双尺度有限元方法的后处理方法、基于后处理方法的双尺度有限元方法、时间-空间不连续Galerkin有限元方法和基于Raviart-Thomas元的混合有限元方法。第二，密度泛函理论中的一个难点是Kohn-Sham方程中交换关联项的近似。我们在第一原理计算软件包ABINIT中编写代码，计算了一些材料的物理性质，对交换关联能的几种近似方法进行了比较。另外，运用ABINIT软件包，研究了金纳米线的力学性质。首次发现了金纳米线的一种稳定的新结构。第三，第一原理GW方法中自能项的计算涉及到一个被积函数含有很多奇异点的积分，数值计算十分困难。我们针对这一积分提出了一种稳定、精确的数值积分方法。