亚椭圆算子的泛函不等式和热核分析是当前随机分析和马氏过程理论的一个重要的研究分支，同时亚椭圆算子的热核分析也是当前几何分析的研究热点之一。在本项目中我们围绕亚椭圆算子的泛函不等式和热核分析展开研究，主要研究了如下三个方面：1. n个（n大于等于3）布朗运动模型上的次Laplace算子对应的热算子半群满足的泛函不等式和热核的梯度估计，该结果已被Potential Analysis接收,待发表；2.研究了满足Hormander条件的亚椭圆算子对应的半线性热方程正解的梯度估计，该结果已被Acta Applicandae Mathematicae接收，DOI: 10.1007/s10440-012-9767-2；3.由于椭圆算子对应的热核的梯度估计可以通过建立相应热方程正解的Hamiton梯度估计来得到，为此我们研究了满足Bakry-Emery曲率下有界的椭圆算子对应的热方程正解的Hamilton型梯度估计，并由此得到对应热核的梯度估计，该结果已在Journal of Geometry and Physics发表，DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2011.12.013，同时该结果会在以后的研究中进一步的推广。