q-变形Yangian和量子物理模型

杨—巴克斯特方程及其相关问题的研究的一个重要研究方面是更为深入研究其拓扑性质，特别是进一步揭示其拓扑性质在量子物理模型中的物理含意。这其中一个重要的研究课题是“量子群”和Yangian的基础上，构建Yangian的变形理论。在本项目执行期间：（1）我们重点研究了拓扑参数取不同值时自旋链模型的性质，以及拓扑基实现。研究发现，当拓扑参数“q”取实数时，该模型哈密顿量具有厄米性，其对称性可以用量子代数描述；当拓扑参数“q”为模为1的复数时，该模型的哈密顿量为非厄米哈密顿量，该模型的哈密顿量具有宇称-时间对称性，其对称性代数仍然可以用量子代数描述。我们研究了这类非厄米系统的拓扑基实现，并借助拓扑基研究了此类模型的拓扑性质，以及基态性质。（2）我们研究了不同Temperley-Lieb (TL)代数表示之间的关系，通过研究不同TL代数的矩阵表示，拓宽了自旋链模型的研究范围。例如，我们可以将拓扑基理论应用到XXZ模型，以及带有DM相互作用的XXZ模型的求解中。这进一步拓宽了拓扑基的研究范围。（3）我们还研究了q变形的Haldan-Shastry模型，这为研究q变形Yangian在量子态跃迁，以及系统对称性的研究提供了重要基础。（4）我们研究了多体杨-巴克斯特系统中量子相变与基态保真度之间的联系。研究表明，发生量子相变时，基态保真度直线下降，微扰谱参数的大小不会改变发生量子相变时耦合强度的临界值，但会改变基态保真度的值，微扰越小，临界保真度越趋近于0。（5）在每一个比特处于不同环境的情况下，我们成功的研究了非绝热非阿贝尔的几何量子计算，构造了两个不对易的单比特门和一个非平庸的双比特门；（6）Rabi模型在研究光与物质相互作用方面具有非常重要的价值，我们研究了可以调控超强耦合系统的量子模拟，以及在量子信息方面的应用。