带有边界条件的扩散限制凝聚模型(DLA) 研究

In this proposed research project, we are to study the Diffusion Limited Aggregation (DLA) model in non-transitive regions with different boundary conditions. And we are to utilize the results obtained to study the theoretical properties of the classic DLA model. To be specific, we are to discuss the Stationary DLA model (SDLA) in the upper half plane with Dirichlet boundary conditions, and the DLA model in the two dimensional wedges with Neumann boundary conditions, and study the growth rate, local stability, as well as the shape of the aggregation. Based on the results above, we are to prove the classic DLA stabilize, estimate the numbers of its infinite arms. We are also to prove that the classic DLA from a long line segment on the x-axis converges to the SDLA under appropriate time rescaling.

在本项目中，我们将研究限制在具有不同边界条件的二维无限区域内DLA模型的数学性质，并将以此为工具，推进对经典DLA模型相关理论性质的攻关。具体而言，我们将研究上半平面及二维楔形区域上带有Dirichlet以及Neumann边界条件的DLA模型，证明其增长速率、凝聚形态与局部极限稳定性。在此基础上，我们还将研究经典DLA模型在适当初值及时空尺度下的scaling limit，试图证明经典模型同样具有局部极限稳定性，并估计其无穷连通分支的数目及分布。

在本课题的支持下，我们建立了带有狄里克莱边界条件的上半平面稳定DLA 模型的理论体系。我们在前期工作的基础上、利用耦合方法，控制不同初始凝聚构型下凝聚模型生长过程中差异点产生的数目和位移距离，证明了从整个x-轴出发、以稳定调和测度为转移速率的无限粒子系统（即上半平面无限稳定DLA模型）的良定义性、马氏性以及关于水平方向平移的遍历性。此外，我们得到了经典调和测度与半平面水平方向平移不变的稳定调和测度之间的归一化极限关系。 在此基础上，我们最终证明了格点平面边集上长线段出发的经典DLA模型与上半平面无限稳定DLA模型之间的局部收敛关系。在DLA模型局部稳定性的研究方面，本课题证明了张角小于45度的楔形区域中DLA模型的满足局部稳定性，即以概率一我们有对一切充分大的R>0所有在时间R^a后添加到DLA凝聚构型的点都不会进入距离0点半径R之内。

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