混合模型及密度比模型下的统计推断问题的研究

In statistics, a population is formed by many individuals. Some populations can be further partitioned into subpopulations such that each subpopulation can be modeled by a distinct probability distribution. Thus, the population distribution is a mixture. In many problems, we can not directly observe the subpopulation identities of the individuals in the sample. It is both theoretically interesting and valuable in applications to make inference about the mixture structure based on random samples from such populations. In other applications, we are often presented with random samples from a number of related populations. When these populations are connected through a model, it becomes possible to obtain more efficient inference methods. The density ratio model is particularly useful in such circumstances. Under this model, every population distribution under consideration is obtained from a basis distribution via a parametric tilting. The samples from each population contribute to the estimation of the basis distribution through empirical likelihood. Hence, the efficiency is improved for the estimation of every population distribution. ..This project studies both theory and application problems under the mixture model and the density ratio model. We aim to overcome the challengings and provide convenient and effective statistical methods for scientists in all disciplines.

在统计问题中，总体是由个体组成的。有些总体又可分为多个子总体。如每个子总体可用一个概率分布来描，则总体的分布是混合分布。在有些问题中我们不能直接观察到个体的内在属性，利用混合总体中的随机样本来推断混合结构是一个既有理论意义，又有十分重要的应用价值的研究课题。在一些应用中，我们的研究对象包括许多总体。这些总体有着自然的联系。如果我们把多总体联接起来，就可以得到更为高效的统计分析方法。密度比模型就是一类适合这种情况的灵活的半参数模型。在此模型下，每一总体分布的密度函数都是由基准分布密度函数通过一定参数方式推移而得到的。每个总体的样本通过经验似然都有助于改进基准密度估计的精度，从而提高所有总体密度估计的精度。本项目研究混合模型和密度比模型中的理论和应用问题，解决应用中遇到的挑战性问题。在遗传统计，金融统计，抽样调查以及许多课题中，为实际工作人员和其他科研人员提供方便高效的统计分析工具。

本项目研究在混合模型和密度比模型中的统计推断问题。当一个总体中存在着几个同质却不同型的子总体时，混合模型往往能够很好地刻划这样的总体。例如，一个地区的个体收入可以因为劳动性质的差别而形成不同的子总体。 密度比模型用来开发高效的非参数数据分析方法。 在许多领域，我们常常关注多个具有共同的特点的分布，如某地区数年的的劳工收入分布。 我们可以利用混合比模型来规范这种相似性，从而获得高效的统计推断方法。..此项目基金主要用于资助云南大学的研究生的研究活动以及和其它研究人员的合作活动。在过去四年里，本人一共发表了九篇由此基金资助的论文，其中有一篇是探讨性的。 另外，还有两篇已投稿且修改稿亦已投出。文章的合作者包括两名博士生和四名国内其它高校的教师。..在统计学中，极大似然估计在正则模型下具有许多最优性。 可是在混合模型下，极大似然估计却常常不可行。这个现象促成了一个特殊的研究方向：在哪些混合模型下，极大似然估计是相合的？ 本人完整地回答了在正态混合模型下的极大似然估计的相合性问题。在位置刻度分布族的混合模型下也获得了类似的结果。在本基金的支持下，我在几个关键的情况下证明在混合Gamma分布下的极大似然估计的相合性。我们的结论给实际应用打下了坚实的基础。我们在证明中开发了一套独特的数学不等式，为其它感兴趣的研究工作者提供了新的研究思路。..密度比模型方面的研究集中在小域估计，林业中的长期质控检验问题，及经济统计问题。 当一个总体能分解成许多不同的区域时，尽管一个抽样调查中的总的样本量很大，具体落在各个小域中的样本量仍可很小。 因此，各小域的参数估计的精度仍可能很低。由于各小域的概率分布之间有许多共同之处，这个特点使得我们利用密度比模型把其它小域的数据用来补充任一指定小域，从而提高这一个小域的参数的估计的精度。 在此模型下，我们获得了分布函数的估计从而得到更合理，高精度的小域分位数估计。 在林业问题中，木材的强度受到很多因素的影响。强度分布每年不同但却拥有一些相同的特点。因而密度比模型特别适合。 我们可以在这一模型下，把历史数据利用上，获得更高精度的分位数估计。在这基础上，我们考虑在数据具有聚类性质时的统计问题，确保统计分析保持很低的错发警讯的概率，同时能有效地发现木材强度下降讯号。 尽管论文以木材强度为岀发点，其中的方法，结论具有很广泛的意义。

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