集多种优点于一体的曲线曲面造型方法研究

B-spline method is widely used in curve and surface design owe to its many merits. However, B-spline method also has some disadvantages. Such as its shape is completely determined by its control points. It cannot exactly express some conic and transcend curves and surfaces. And it needs to determine the control points conversly when using it in interpolation. These disadvantages restrict the application of B-spline method. Aiming at these disadvantages, this project puts the research emphasis on the improvement of B-spline method. We will first construct appropriate basis functions which possess good properties and at least two parameters by studying the internal relations between the parametric equations of the conics and some transcend curves which are widely used in engineering. The value range of the parameters which make the basis functions non-negative will also be analyzed. Then we will define a new kind of spline curve based on the new basis functions, and analyze how to express some special curves by the new curve.The conditions of smooth connection for the new curve will also be analyzed. Then we will analyze the conditions which make the new curve interpolate the given point series automatically. At last, we will extend the new curve to surface, and give some application examples of the new curves and surfaces. The purpose of this project is to present a new kind of modeling method which not only can approach but also can interpolate the same given point series, and not only can express all the conic curves and surfaces but also can express some transcendental curves and surfaces.This project can enhance the ability of the CAD system for expressing and handling curves and surfaces, and can promote the development of the industrial geometric design and manufacture industry.

B样条方法由于具有诸多优点而广泛应用于曲线曲面设计。然而，不具备形状可调性，不能精确表示一些圆锥曲线面和超越曲线面，插值时需反求控制顶点等缺点又对B样条方法的应用造成了局限。本项目针对B样条方法的缺点，将研究重点放在对B样条方法的改进上。首先通过研究工程上常用的圆锥曲线和超越曲线的参数方程之间的内在联系，构造出性质良好且至少含两个参数的基函数组，并分析基函数非负时参数的取值范围。然后定义样条曲线，寻找其表示各特殊曲线的条件，并分析曲线的光滑拼接条件。再分析样条曲线自动插值给定点列时，曲线中的参数应满足的条件，以及曲线控制顶点的选取方案。最后将曲线推广至曲面，并给出曲线曲面的应用实例。本项目旨在构造一种既能逼近给定点列，又能自动插值给定点列，既能表示所有圆锥曲线面，又能表示一些超越曲线面的形状可调的样条曲线曲面，从而使CAD系统表示处理曲线面的能力增强，进而推动工业几何设计制造等行业的发展。

在计算机辅助几何设计(CAGD)中，B样条方法是广泛使用的造型方法之一。它具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，且拥有统一、通用、有效的标准算法以及强有力的配套技术。但任何造型方法都不可能十全十美，B样条方法也不例外。首先，B样条方法缺乏形状调整的灵活性，当节点向量给定时，B样条曲线曲面的形状被其控制顶点唯一确定，若要调整其形状，必须修改控制顶点；然后，B样条方法的形状表示范围不够广泛，它不能精确描述工程设计中常用的一些圆锥曲线曲面和超越曲线曲面；另外，B样条方法是逼近型的，当用它进行插值时，必须通过繁琐的迭代运算解方程组来反求控制顶点，计算非常复杂。虽然非均匀有理B样条(NURBS)方法可以在一定程度上克服B样条方法的上述前两个不足，但它依然是逼近型的，依然不能表示超越曲线曲面，而且NURBS的有理形式导致了其微分、积分等运算的复杂性，权因子的不当选取又可能导致坏的参数化等。为了避免这些不希望的结果，寻找更有用的造型方法是必须的。正因为如此，如何改进B样条方法成为CAGD中的研究热点之一。. 在本项目的执行过程中，我们对如下内容展开研究并获得了相应的研究成果：（1）代数多项式空间上集逼近插值于一体的曲线曲面，给出了具有局部控制性、自动光滑性、局部形状可调性，既能逼近给定点列，又能自动插值给定点列的曲线曲面；（2）三角函数空间上具有形状可调性、高阶连续性、自动插值性，以及可以精确表示圆锥曲线曲面等多种优点的曲线曲面；（3）代数三角混合函数空间上具有与3次B样条曲线相同的结构，相同的局部控制性、自动光滑性，同时又具有不同于3次B样条曲线的相对于固定控制顶点和节点向量的形状可调性，以及能表示多种圆锥曲线、超越曲线的新曲线；（4）双曲函数空间上具有凸包性、对称性，类似于Bézier曲线的端点插值性、端边相切性，同时具有形状可调性，且能精确表示双曲线的曲线曲面模型；（5）形状和光滑度可调的自动连续组合曲线曲面，在代数多项式空间、代数三角混合多项式空间上，采用与B样条方法相同的组合思想，但是不同的组合方式，定义了在控制顶点固定的情况下，不仅形状可调，而且光滑度亦可调的曲线曲面。（6）代数多项式空间、三角多项式空间上的保形曲线曲面，给出了既具有形状可调性、局部控制性、自动光滑性，又具有决定形状质量的变差缩减性的曲线和对应的张量积曲面。

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