树上生灭过程收敛速度及p-Laplacian特征值估计

The program is proposed to investigate the estimates of coverage speed for birth-death processes on trees and p-Laplacian principal eigenvalues.. Firstly, we study the coverage speed for birth-death processes on trees by taking advantage of variational formulas and dual methods. That is the p-Laplacian principal eigenvalues with p=2. Secondly, we will estimate the p-Laplacian(1<p<\infty) principal eigenvalues on trees by functional inequalities. These contents studied can be fully considered by comparing them with corresponding results obtained for birth-death processes in dimension one. In order to overcome the difficulties encountered duo to the changes of the Topo structure, we can consider the simple cases first, and then the general cases, splitting technic and so on..We know that the p-Laplacian eigenvalues are closely related to the best constant of functional inequalities, to some extent, the contents studies in the program complement the gap of estimating the best constant of functional inequalities. Besides, a cutoff phenomenon which is useful for algorithm designed in web and so on are closely related to the coverage speed. The research contents of this project from the theory to applications have important value.

本项目主要研究树上生灭过程的收敛速度和p-Laplacian主特征值的定量估计问题。. 首先,从Poisson方程出发，利用变分公式、对偶方法等研究树上生灭过程的收敛速度估计问题, 也即 p=2时p-Laplacian特征值估计；其次,借鉴树上生灭过程收敛速度的方法，以泛函不等式为工具，研究p-Laplacian特征值(1<p<\infty)定量估计。这些内容可类比一维空间中生灭过程的相关结论，为克服由一维空间到树上导致的拓扑结构改变带来的问题，我们主要采取首先考虑特殊情形、类比方法，对树结构进行分解等方法展开研究。.基于p-Lapalcian特征值与泛函不等式的关系，本项目的研究内容一定程度上弥补了定量估计泛函不等式最优常数的理论空隙，另外，最近发现收敛速度与用于设计网络算法的cutoff现象等密切相关，因此，本项目的研究内容从理论和应用上均有重要价值。

生灭过程是一类常见的随机游动, 其研究动机来源于生活生产实践。近年来, 人们发展了关于该过程越来越多有应用背景的研究方向, 涉及概率论、 统计物理、排队论、通信网络、流行病学以及生物学等领域。关于其研究已有大量的参考文献，特别是近年来对一维生灭过程收敛速度的研究进一步建立了泛函不等式最优常数和拉普拉斯算子特征值的关系，在这一背景下，本项目主要研究树上生灭过程的相关结论。主要研究内容如下：1）给出树上生灭过程收敛速度以及Hardy不等式最优常数(也即p-Laplacian主特征值)的相关估计，包括变分公式、基本估计等。2）给出树上一般Hardy不等式最优常数估计，给出其变分公式、逼近程序，并得到了其基本估计。3)在这一研究基础上讨论了树上生灭过程的唯一性问题和本征谱空的判别条件。对进一步研究树上马氏过程有了良好的开端，为深入研究相关课题做了铺垫。

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