异域对称空间和Kostka函数

在1980年代，受到Springer对应的理论与其本人构造的Kostka多项式的几何实现的启发，Lusztig构造了特征标层理论，这是一项开创性的工作，受此影响上世纪最后20年间几何表示论方向获得了巨大发展。项目负责人在2001年引入了复反射群附随的Kostka函数，这是古典Kostka多项式的一种推广。 本课题的第一个研究内容就是关于附随于异域对称空间的Springer对应，它可以看作特征标层理论的一般化，并且和Kostka函数密切相关。项目负责人已经利用附随于辛群的异域对称空间，得到了某种特殊形Kostka函数的几何实现。在本项目在研期间，我们更进一步地发展了Kostka函数的理论，特别地，证明了Finkelberg-Ionov猜想。Finkelberg-Ionov猜想给出了Kostka函数的一种几何实现，尽管它与上述的几何实现是不一样的。 我们还证明了辛群的情形，即Lusztig的特征标层理论中出现的某种重要函数可以利用我们的Kostka函数来通过组合的方式刻画。我们还把Springer对应的理论推广到了附随于正交群的对称空间的情形。我们期待上述的结果能够给出迈向Kostka函数的几何实现的重要一步。我们的第二问题是研究关于量子群的典范基。对于对称型的量子群，典范基由利用箭图的几何构造了出来。关于非对称的情形，利用类似的方法，Lusztig构造了典范符号基（这是典范基的一个弱化版本）。应用自己构造的晶体基理论，Kashiwara也独立地构造出了典范基。在量子群的表示理论中，典范基扮演着关键的任务，不过Lusztig和Kashiwara的理论都非常复杂。在我们的研究中，我们找到了更为初等的方法来构造非对称型的量子群的典范符号基。相较于Lusztig和Kashiwara的理论，我们的方法更为直接，并且能够给出具体的构造。我们期待这个结论能够更加清楚的刻画典范基，并且提供更多的信息。