最优质量运输中运输密度正则性的研究

We shall further study regularity properties of transport densities in optimal mass transportation problems. The main methods and ideas used to study these problems come from geometric measure theory, partial differential equations, optimal mass transportation and optimization theory. We focus on the regularity relationship between optimal transportation maps of the Monge’s problem, Radon-Nikodym derivatives of displacement interpolations with respect to Lebesgue measures and transport densities. We shall also study optimal constants in regularity properties of transport densities and consider how to improve the regularity of such transport densities. Nowadays, optimal mass transportation has developed rapidly in many branches of mathematics such as calculus of variations, partial differential equations, geometric analysis, measure theory, etc. Furthermore, optimal transportation problems have many applications such as economics, fluid dynamics, automatic control, biology, computer network, shape optimization, image processing and so on. Therefore, optimal mass transportation attracts more and more research interests recently. Regularity properties of transport densities are related to application problems such as shape optimization problems, minimal flow problems and the Monge-Kantorovich equation. As a result，further and systematic research on transport densities may combine optimal mass transportation, partial differential equations and may be used to solve these application problems.

本课题拟深入研究最优质量运输中运输密度的正则性，运用几何测度论、偏微分方程理论、最优运输理论、最优化理论的思想和方法，重点研究Monge问题最优映射、位移内插关于Lebesgue测度的Radon-Nikodym导数与运输密度三者正则性的相互影响，讨论运输密度正则性的最优常数以及正则性提高的问题。近年来最优运输理论在变分学、偏微分方程、几何分析、测度理论等数学研究领域得到了迅速发展，并在经济学、流体动力学、自动控制、生物学、计算机网络、形状优化、图像处理等领域有重要应用，已越来越引起人们的广泛关注和重视。本课题讨论的运输密度的正则性涉及形状优化问题，极小流问题以及Monge-Kantorovich方程，系统而深入地展开关于运输密度正则性的研究将有助于丰富最优质量运输理论、偏微分方程理论并有助于探讨这些实际问题。

近年来最优运输理论在变分学、偏微分方程、几何分析、测度理论等数学研究领域得到了迅速发展，并在经济学、流体动力学、自动控制、生物学、计算机网络、形状优化、图像处理等领域有重要应用，已越来越引起人们的广泛关注和重视。本课题拟定的主要研究内容为最优质量运输中运输密度的正则性及相关内容。随着对课题展开深入的研究，我们将研究的主要内容定位为最优计划的分类。这种定位源于传输密度与最优计划的关系，即可经由不同的最优计划定义相同的传输密度。我们的研究以最优计划为突破口，期望在此基础上开展对传输密度正则性的研究。在研究最优计划的过程中课题组重点考虑了最优计划的分类问题。得到的重要结果为在欧氏空间以及特殊的次黎曼流行——Heisenberg群上可以分别对相应的最优计划进行分类，其分类准则均为传输线上的单调性。简而言之，在欧氏空间以及Heisenberg群上，分别以欧氏距离和测地距离为费用函数的最优运输问题，其解称之为最优计划，可以分成三大类：第一类，在传输集合上具有单调增加性；第二类，在传输集合上具有单调递减性；第三类，其它。此外，我们给出了例子对这三种类型的最优计划分别进行了说明。此种分类结果的意义在于我们可以在最优计划分类的基础上分别讨论由这三类最优计划定义的传输密度的正则性，讨论经由不同方式获得的相同的传输密度是否具有不同的正则性，讨论分类对传输密度正则性的影响。

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