基于笛卡尔直角网格的边界积分方法及其在三类移动界面问题中的应用

This project will significantly reformulate the Cartesian grid based boundary integral method that was previously proposed by the applicant for elliptic partial differential equations. Unlike the traditional boundary integral method, this method is not limited to constant coefficient linear equations and has several advantages: the reformulated boundary integral equations are well conditioned, the cost for Cartesian grid generation is pretty low and the resulting discrete equations can be computed with fast solvers, using either the fast Fourier transform or the geometric multigrid iteration. However, the boundary integral method still has some severe limitations. It requires the domain boundary or interface has sufficient smoothness and the reformulated boundary integral equations to be of the second kind (well-conditioned). Many recently popular free boundary and moving interface problems involve non-smooth boundaries or interfaces and the corresponding boundary integral equations are only of the first kind (ill-conditioned). This project will take three challenging moving interface problems (free boundary problem, fluid-structure interaction problem and moving contact line problem) as the driving problems and aim to propose a novel Cartesian grid based boundary integral method for them. The most significant novelty part of this project will be the applicability of the new method for the moving interface problems with non-smooth boundaries, which may have corners or sharp edges, and those problems whose reformulated boundary integral equations are only of the first kind. The project will also aim to solve the computational difficulties associated with stiffness of moving boundaries or interfaces and multi-physics coupling property of the problems.

本项目将实质性地改进申请人先前提出来用于求解椭圆型偏微分方程，基于笛卡尔直角网格的边界积分方法。与传统边界积分法不同，该方法不局限于求解常系数线性方程，且具有稳定性好，直角网格生成省时方便和离散方程组可快速求解等优点，但是目前还有严重的缺陷: 其对区域边界或界面的光滑性要求较高和要求转换后的边界积分方程是第二类(稳定)的等等。近期热门的几类移动界面问题涉及的区域边界恰恰经常是不光滑（带角点）的和对应的边界积分方程是第一类(不稳定)的。本项目将以三类颇具挑战性的移动界面问题(自由边界问题, 流固耦合问题和移动接触线问题)作为驱动问题和设计对应的基于直角网格的边界积分法作为主要研究内容。本项目最主要的创新之处在于新方法将可以很好地求解区域边界或界面不光滑以及边界积分方程为第一类的移动界面问题。本项目还将解决应用边界积分方法求解三类驱动问题遇到的界面移动刚性和多物理耦合等计算难点问题。

项目背景：很多重要的工程和科学问题可以用不规则区域上的偏微分方程来描述，而且在问题中区域边界或界面会随着时间而运动或发生改变。传统的基于非结构贴体网格的方法或传统边界积分方法在求解典型的自由边界、移动界面、移动接触线或流固耦合问题时，通常会遇到计算效率、数值解精度、稳定性等方面的问题。.主要研究内容：本项目对自由边界问题、移动界面问题、移动接触线问题和流固耦合问题，提出了不同形式的直角网格方法，其中主要是基于位势理论的直角网格方法。方程的离散有的用有限差分法，有的用有限元方法，也有的用有限体积方法。所用直角网格大部分是一致加密的，但也有局部加密的。本项目所研究设计的直角网格法的数值结果在空间维度上都是有二阶精度的，对有些问题还具有四阶精度并有严格的理论分析和误差估计。本项目研究的方程类型除了常见椭圆型和抛物型偏微分方程之外，还包括其它如波动方程（双曲型偏微分方程）和薛定谔方程等。对空间二维和三维区域上的平均曲率流问题，研究设计了一个没有本质上时间步长限制的半隐式直角网格方法。第一次提出了空间一维（区间）上的基于位势理论的直角网格方法，并给出了严格的稳定性和收敛性分析。对以Stefan问题为代表的时间依赖问题（自由边界问题），结合空间一维的基于位势理论的直角网格方法，提出了基于算子分裂的直角网格方法。.科学意义：基于位势理论的直角网格方法在继承传统边界积分方法优点的同时，结合直角网格或结构网格上有限差分方法、有限元方法或量身定制有限点方法的长处，以及快速傅立叶变换和几何多重网格迭代技术，为求解不规则区域上椭圆型或抛物型方程边值、界面问题，自由边界、移动界面或者流固耦合问题提供了一类速度快、精度高、稳定性强的算法，也为几何反问题（包括障碍物反散射问题）、结构优化问题、形状控制问题等的数值模拟提供了新思路。对波动方程和薛定谔方程的基于位势理论的直角网格方法的提出更是拓宽了该类方法的应用领域。

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