模糊映射的次可微性及其应用

With in-depth study and development of the fuzzy programming, many scholars begin to study the subdifferential theory of fuzzy mapping and its applications and obtain some important results. But the conditions of partial order based on the interval number for fuzzy numbers is so strong that many conclusions of non-smoothing analysis cannot be represented and discussed in fuzzy numbers space. So the reasonable order relations of fuzzy numbers should be selected or established, then the subdifferential of fuzzy mapping and its applications should be discussed. In this project, using the order relation defined by Goetschel-Voxmannb, we will do following work: (1) we will discuss the subdifferentiability of general fuzzy mapping , and give the variational principle of fuzzy mapping, and establish the approximation sum rules; (2) we will give the concept of conjugate mapping of fuzzy mapping, and establish the relationship between subdifferential and conjugate mapping, and discuss the duality and stability of convex fuzzy extremum by using conjugate mapping, and obtain some related results; (3) we will discuss the saddle point and min-max theorems in the sense of fuzzy, and establish Lagrange duality and KKT conditions of convex fuzzy programming by Lagrange duality of fuzzy programming; (4) we will apply the related results to the research of quadratic programming, and study the application cases in production systems and engineering technology with fuzzy information.

随着模糊规划研究的深入与发展，许多学者开始研究了模糊映射的次微分理论及应用问题，并得到了一些重要结论。但由于模糊数的基于区间数的偏序关系条件较强，导致非光滑分析中的很多结论在模糊数空间中无法表示和讨论。所以有必要选择或建立合理的模糊数的序关系，讨论模糊映射的次微分及应用问题。基于这种想法，本申请项目拟用Goetschel-Voxmann 所定义的序关系，（1）讨论一般模糊映射的次可微性问题，给出模糊映射的变分原理，建立近似和规则；（2）给出模糊映射的共轭映射概念，建立次微分与共轭映射之间的关系式，并用共轭映射讨论凸模糊极值问题的对偶性和稳定性，给出相关的基本结论；（3）讨论模糊意义下的鞍点与极小极大定理，并结合模糊规划的Lagrange对偶，建立凸模糊规划的Lagrange对偶和KKT条件；⑷ 将获得的有关结论应用于模糊二次规划的研究中，并研究在生产系统、工程技术中具有模糊信息的应用案例。

模糊映射是取值为模糊数的函数。模糊数是一族满足一定条件的区间数，即模糊映射是一族满足一定条件的区间值映射。从而，我们首先建立了区间数及区间值映射的相关理论。在此基础上，开展了本项目的主要研究工作：（1）建立了模糊映射的次微分概念，得到了有关次微分的一些基本性质；同时，讨论了区间值映射的可微性（次可微性）及其与模糊映射的可微性（次可微性）之间的关系，并给出了将模糊映射的可微性（次可微性）问题转化成区间值映射的可微性（次可微性）问题的一些条件。(2) 作为次微分理论的应用：讨论了模糊映射的次微分与凸化模糊映射的次微分之间的关系，得到了模糊映射存在凸延拓的一些条件。（3）通过建立模糊度规映射的概念，建立了模糊映射的一个变分原理。作为变分原理的应用，证明了次微分意义下的近似和规则。（4）给出了一般模糊映射的共轭映射概念，并讨论了次微分与共轭映射之间的关系，得到了一些有意义的结论；同时讨论了模糊意义下的极小极大定理，并结合模糊规划的Lagrange对偶，建立了凸模糊规划的KKT条件。（5）研究了目标映射为一般模糊映射的模糊规划问题。通过讨论无约束条件模糊规划的最优性条件，给出了约束条件为实值函数的一类模糊规划取得最优解的KKT条件。讨论了约束条件为实值凹函数，目标映射为凸模糊映射的一类模糊规划问题的最优性条件。（6）讨论了目标函数是模糊二次的，约束条件是模糊线性的模糊二次规划问题，证明了模糊二次规划是一类目标映射和约束条件均为D-可微凸模糊规划问题；并利用凸模糊规划的KKT条件，给出了模糊二次规划的最优性KKT条件。（6）为了更好的研究一些在生产系统、工程技术中具有模糊信息的应用问题，也探讨了区间数空间和模糊数空间上的贴进度及度量等相关问题，并给出了相应的应用。.综合上述结果，本课题的研究为在模糊数空间中，进一步讨论和发展经典非光滑分析中的很多理论奠定了良好的基础。同时，部分研究结果便于讨论实际应用问题，具有潜在的应用价值。.项目资助已发表论文18篇（其中SCI论文1篇；EI论文1篇；ESCI论文2篇；ISTP论文1篇；北大中文核心期刊论文5篇；其他论文8篇）。培养6名硕士研究生。其中2名已经获得硕士学位，4名在读。项目投入经费37万元，支出23.8479万元，各项支出基本与预算相符。剩余经费13.1521万元，将其剩余经费计划用于本项目研究后续支出。

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