基于紧李群的函数逼近研究

Many results of approximation are based on Euclid spaces or their compact subsets. Periodic approximation is based on compact groups {exp(ix)} and their direct generalization is U(n).We know homomorphism between U(2) and SO(3),which have many applications in Physics and Chemistry. Peter.F and Weyl.H proved approximation theorem,that is, continuous function can be approached with the elements of irreducible representation in finite liear combination.HuaLuogen and Gongsheng systemly studied the basic problems of Fourier analysis on unitary and rotation groups,including the convergence and approximation degree of Abel sum based on Poission kernel. Zhengxuean studied the polynomial approximation on compact Lie groups and D.L.Ragozin studied Jackson's theorem and Bernstein's theorem on compact manifolds and uniform spaces. But generally speaking, these results on compact Lie groups are odds and ends.We try to systemly study the approximation problems on compact Lie groups,especialy on unitary and rotation groups.

迄今的众多逼近论成果是在欧氏空间或其紧子集上取得的。周期情形的逼近是建立在紧致群{exp(ix)}的Fourier分析的基础上，而{exp(ix)}的直接推广是U(n)群，周知U(2)与旋转群SO(3)同构，这些群在物理和化学学科中的应用已越来越重要。自Peter.F和Weyl.H证明了紧致群上的连续函数可用其不可约表示的元素的有限线性组合来逼近，华罗庚、龚升等系统完整地研究了酉群、旋转群等的Fourier基本问题包括由Poission核展开得到的Abel求和的收敛性及逼近阶等，紧Lie群上的工作有比如郑学安的紧Lie群上的多项式逼近，D.L.Ragozin的关于紧流形和齐性空间上的Jackson定理和Bernstein定理等，但总体而言，紧Lie群上的逼近论结果是零散的，本项目试图较为系统地研究紧Lie群上的逼近论问题，特别是酉群和旋转群上的逼近问题。

逼近论中较多的研究是在欧式空间或其紧子集上的,紧Lie群上的逼近结果相对较少,所以对紧Lie群（特别是旋转群和酉群）上的逼近研究是有意义的. 根据原项目计划, 我们做了如下主要工作：.(i)研究了紧Lie群上的度量及微分和积分问题,这是基本的,为之后的研究打基础；.(ii)给出了旋转群上光滑模和K泛函的等价性；.(iii)类似古典Fourier级数，我们从部分和算子开始，研究了旋转群SO(3)上包括Fejer 算子、Riesz算子、Jackson-型算子等算子的逼近问题；.(iv)研究了椭圆样条在Sobolev空间和Besov空间的逼近问题；.(v)研究了某些有限群的不可约表示的特征问题；.(vi)研究了样条神经网络和Szász –Bézier算子以及Durrmeyer - Bernstein 算子的逼近以及某些偏微分方程的小波数值解法；.(vii)研究了调和分析与某些偏微分方程解的存在问题以及某些非线性系统中的控制问题.

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