台希米勒理论的应用与无穷维复分析

This research program consists of two parts: Applications of the Teichmuller theory and infinite dimensional complex analysis. As applications of the Teichmuller theory, we shall study some problems in the theory of the flat surfaces,including the Teichmuller discs preserved by modular transformations;some important billiards in polygons as well as the distributions of holonomy vectors of saddle connections of flat surfaces. We shall also study the relationship between the Hausdorff dimensions of quasi-circles and the theory of the extremal quasiconformal mappings. The second part is infinite dimensional complex analysis. We shall mainly focus on several questions of fundamental importance on loop spaces of finite dimensional compact complex manifolds, including the computation of the Picard group of holomorphic line bundles, spaces of holomorphic sections, holomorphic self-maps,Dolbeault cohomology groups and the cohomology groups of the structure sheaf etc. Meanwhile we shall also explore the link between this subject and other branches of mathematics.

本项目由两部分内容组成：台希米勒理论的应用与无穷维复分析。作为台希米勒空间的应用，我们将研究平坦曲面理论的若干问题，包括模变换所保持的周期台希米勒圆盘，对重要的多边形撞球系统进行系统研究以及平坦曲面鞍点连线的和乐向量的分布等。另外我们还将研究拟圆周的Hausdorff维数与拟共形映射的极值理论的联系。 第二部分是无穷维复分析。我们的主要关注范围是有限维紧复流形的圈空间上的几个基本问题，包括计算全纯线丛所组成的Picard群、全纯截影空间、全纯自映射、Dolbeault上同调群与结构层的上同调群等。同时也将探索此领域与数学其他分支的关系。

本项目由两部分内容组成：台希米勒理论的应用与无穷维复分析。.作为台希米勒空间的应用，我们研究平坦曲面的若干问题, 得到了一些重要的Veech曲面的Mikowski常数；建立了L多边形的撞球系统与符号动力系统的联系，对模变换的周期Teichmuller圆盘进行了研究并发现了一些新的现象，对亏格2的平坦曲面的Teichmuller曲线的几何性质进行了系统的研究。另外我们还研究了拟圆周的Hausdorff维数与拟共形映射的极值理论的联系。在这方面，我们证明了第二类Fuchs群的极限集的Hausdorff维数作为其Teichmuller空间的函数不是一个解析函数；对多边形映射所产生的拟圆周证明了它们是弧弦曲线。这些结果有可能将在后续研究中得到利用.本项目第二部分是无穷维复分析。我们得到以下结果：设V= S1,或V=[0, 1]，f是Ck（V, M）的一个全纯自映射。则f是某个V的自映射所诱导的当且仅当对任意的x∊ Ck（V, M），有f(x)(V)⊂x(V)。

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