可修复系统的稳定性、可靠性和数值解

Repairable system is one of the main research objectes in the thoery of reliability mathematics，its research results were widely utilized in the fileds of aerospace, military science, comminucations engineering, transportation business,etc.However, with the constant development of science technology, the existing models and related results are hard to cope with the complexity of the real world. Therefore, it is stringent to establish new models and solve the existed problems in the reliability theory. In this progect, we shall establish new models of the serie-parallel repairable system with three units and vacation and discuss the well-posed-ness, asymptotic stability, exponential stability and reliability of the repairable system. In addition, the numerical solutions to the system equations and the precise error estimates of the stead-state solution in substituion for the dynamic solution are given. Furthermore, on the basis of the reults above, the instantaneous availability of the system, the vacation strategy of the repairman and the optimal replacement strategy of the unit are to be obtained, numerical simulations are also performed to testfy the sensitivity of the system parameter and verify the rationality of results and the soundness of the methods of this project. These research results of this project not only give the judgement and evalution of the performance of the system, reveal the effect mechanism of the vacation of the repairman on the function of the system, provide the rigorous theory basises for the further research on these system, but also help decision-makers to make scientific and rational decisions, provide the engeneers the guides of how to use and maitain the facilities rationally, increase economic efficiency and safty of the system.

可修复系统是可靠性数学的主要研究对象之一，其研究成果广泛应用于航天、军事、通信、交通等各个领域。但是，随着科学技术的发展，现有模型和结果已不能满足实际问题的需要。因此，建立新模型并对可靠性理论中存在的若干问题进行研究是非常必要的。在本课题，我们除了建立两类三部件串并联休假可修复系统的新模型并对其适定性、渐近稳定性、指数稳定性和可靠性研究外，还给出系统方程的数值解和稳态解代替动态解的精确误差估计。在此基础上，进一步得到系统瞬时可用度，修理工的休假策略和部件的最优更换策略，并通过数值模拟分析参数的敏感度，验证本课题的结论和方法的正确性。这些研究不但给出系统性能的判断与评估，揭示修理工休假对系统性能的影响机制，为研究者进一步研究这类系统奠定严格的理论基础，而且可帮助决策者制定科学合理的决策，指导工程技术人员合理使用及维护设备，提高系统的经济效益和安全性。

可靠性模型在计算机系统、远程通信系统和制造业等都有广泛的应用。随着科技的进步，人们对产品可靠性的要求越来越高。因此，研究系统的可靠性是非常重要的。在此项目中，我们主要建立了三个具有三部件的可修复系统新模型。. 第一个是修理工可休假的模型。此系统由具有初边值条件一组常微分方程耦合偏微分方程来描绘。为了应用正算子半群理论来研究其稳定性，系统方程被转化为Banach格上的抽象柯西问题。通过系统算子详细的谱分析，得到系统方程有唯一一个正时间依赖解和正稳态解并且正时间依赖解强收敛到正稳态解。此外，通过系统半群的不可约性验证了系统半群的Cesaro平均遍历性。. 在第二个模型中，我们假定修复率是一般函数。这一假设导致模型系统方程中含有两个风险函数，因而选在数值方法来分析系统的可靠性。结合边界条件和特征线方法，将系统的状态方程组化为等价的积分方程组。使用类似Gauss-Seidel解决线性方程组的方法、类似SOR解决线性方程组的方法和配置法对积分方程组进行数值模拟，进而可以得到系统稳态指标的数值解。. 在第三个模型中，建立了具有两种失效状态的三部件串并联可修复系统，并且利用一种新的简单的方法研究了系统的指数稳定性。确切地说，结合系统方程和边界条件，通过选取合适的状态空间将系统转化为等价的抽象Cauchy问题，利用算子半群理论证明系统存在唯一动态解；通过对算子的谱分布进行分析，得到系统算子的谱点均位于复平面的左半平面且虚轴上除0点外无别的谱点，由此给出了系统的渐进稳定性；最后，通过证明该半群的拟紧性和不可约性，证明了系统的指数稳定性。. 此外，通过利用算子半群理论和引入一些新方法研究了几个M/G/1型排队论系统的稳定性，一个边界控制具有时滞的线性生物过程的指数稳定性和一个计算机串联系统的适定性和稳定性。上述结果得到国内外同行的认可，相应结果发表在国内外重要期刊上，到目前为止，共发表学术论文11篇（SCI收录5篇，EI收录2篇），在东北大学出版社出版专著一部，培养硕士生7名，已毕业3名。根据所取得的成果来看，项目的研究内容与申请书的研究内容一致，且达到预期研究成果数量（申请书中的预期研究成果为在国内外主要期刊上发表论文7篇左右，其中被SCI和Ei收录4篇左右，培养研究生3-4名）。

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